§ 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотренные в §§ 32 и 33 методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений применимы и для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим

здесь разностный метод для решения систем уравнений. Рассуждения будем проводить для системы двух уравнений с двумя искомыми функциями.

Требуется найти решения системы уравнений

удовлетворяющие начальным условиям при

Будем определять значения функции при значениях аргумента Пусть снова

Приближенные значения функции обозначим

и соответственно

Напишем рекуррентные формулы типа

Чтобы начать вычисления по этим формулам, нужно знать кроме заданных еще эти значения находим по формулам типа (4) и (4) § 33:

Для применения этих формул нужно знать к определению которых мы сейчас и приступим. Из уравнений (1) и (2) находим

Дифференцируя уравнения (1) и (2) и подставляя значения , найдем

Дифференцируя еще раз, найдем Зная находим из данных уравнений (1) и после чего мы можем заполнить первые пять строк таблицы:

По формулам (4) и (5) найдем , а из уравнений (1) и (2) найдем . Вычислив снова по формулам (4) и (5) найдем у, и и т. д.

Пример 1. Найти приближенные значения решений системы

с начальными условиями при . Вычислить значения решений при .

Решение. Из данных уравнений находим

Дифференцируя данные уравнения, найдем

По формулам типа (4) и (5) находим

На основании данных уравнений находим

и заполняем первые пять строк таблицы (см. с. 140).

Далее по формулам (4) и (5) находим

и аналогично

Очевидно, что точные решения данной системы уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям, будут

Поэтому пять верных после запятой знаков решений будут

Замечание. Так как уравнения высших порядков и системы уравнений высших порядков во многих случаях сводятся к системе уравнений первого порядка, то изложенные методы применимы к решению этих задач.

(см. скан)