§ 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей

Определение 1. Пусть есть плотность распределения некоторой случайной величины тогда функция

называется функцией распределения вероятностей, или интегральным законом распределения.

Рис. 420.

Рис. 421.

Для дискретной случайной величины функция распределения равна сумме вероятностей тех ее значений которые меньше

На основании равенства (3) § 12 следует, что функция распределения есть вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х (рис. 420):

Из рис. 420 следует, что при данном значении значение функции распределения численно равняется площади ограниченной кривой распределения, лежащей левее ординаты, проведенной через точку

График функции называется интегральной кривой распределения (рис. 421).

Переходя к пределу при в равенстве (1), с учетом (5) § 12 получаем

Докажем далее следующую теорему.

Теорема 1. Вероятность попадании случайной величины в заданный интервал равняется приращению функции распределения на том интервале:

Доказательство. Выразим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал .

Рис. 422,

Формулу (3) § 12 перепишем так:

(рис. 422). Пользуясь равенством (1), можем написать

что и требовалось доказать (рис. 423).

Заметим, что плотность распределения f(x) и соответствующая функция распределения F(х) Связаны соотношением

Это следует из равенства (1) и теоремы о дифференцировании определенного интеграла по верхнему пределу.

Рассмотрим далее случайную величину с законам равномерного распределения вероятностей. Закон распределения или плотность распределения такой случайной величины задается следующим образом: при при при На интервале плотность f(x) имеет постоянное значение с (рис. 424), а вне этого интервала равна нулю. Такое распределение также называют законом равномерной плотности.

Из условия находим значение с:

следовательно,

Из последнего равенства следует, что интервал на котором имеет место равномерное распределение, обязательно конечен.

Рис. 423.

Рис. 424,

Определим вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале

Итак, искомая вероятность

(это соотношение аналогично определению геометрической вероятности для двумерного случая, приведенному на с. 441). Определим интегральный закон распределения

Если то и, следовательно,

Если то , следовательно,

Если

следовательно,

Приведем несколько конкретных случайных величин с законом равномерной плотности.

Пример 1. При измерении некоторой величины производится округление до ближайшего деления шкалы. Погрешность при округлении есть случайная величина с равномерным распределением вероятностей. Если - число некоторых единиц в одном делении шкалы, то плотность распределения этой случайной величины будет

Здесь а

Рис. 425.

Пример 2. Вращающееся симметричное колесо останавливается вследствие трения. Угол образованный некоторым фиксированным подвижным радиусом колеса с неподвижным радиусом после остановки колеса, есть случайная величина с плотностью распределения при