§ 6. Обратная матрица
Пусть дан вектор X. Произведем над ним преобразование с помощью квадратной матрицы А, получим вектор У:
Пусть определитель матрицы А отличен от нуля: 
Тогда существует обратное преобразование вектора У в вектор X. Это преобразование находится путем решения системы уравнений (3) § 5 относительно 
Матрица обратного преобразования называется обратной матрицей к А и обозначается 
Таким образом, можем написать
Здесь X — столбцевая матрица, У — столбцевая матрица, АХ — столбцевая матрица, 
квадратная матрица. Подставляя вместо У в правой части равенства (2) правую часть равенства (1), получаем
Над вектором X последовательно произвели преобразование с матрицами 
т. е. произвели преобразование с матрицей, равной произведению матриц 
. В результате получилось тождественное преобразование. Следовательно, матрица 
есть единичная матрица:
Равенство (3) имеет вид
Теорема 1. Если матрица 
- обратная к матрице А, то и матрица А — обратная к матрице 
, т. е. справедливы равенства
Доказательство. К обеим частям равенства (3) применим преобразование с помощью матрицы А:
Пользуясь свойством сочетательности при умножении матриц, последнее равенство можно переписать так:
Отсюда следует, что
Утверждение доказано.
Из равенств (4) и (7) следует, что матрицы 
взаимно обратные. Из указанных равенств также следует
Действительно, из равенств (7) следует
Сравнивая последнее равенство с равенством (4), получаем равенство (8).
