§ 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей

Во многих случаях вероятность рассматриваемого случайного события может быть подсчитана, исходя из анализа рассматриваемого испытания.

Для понимания дальнейшего изложения рассмотрим пример.

Пример 1. Однородный куб, на гранях которого нанесены различные числа от 1 до 6, будем называть игральной костью. Рассматриваем случайное событие — появление числа на верхней грани при бросании игральной кости. Так как в силу симметрии кости события — появление любого числа от 1 до 6 — одинаково возможны, то их называют равновозможными. При большом числе бросаний кости можно ожидать, что число как и каждое другое число от 1 до 6, появится на верхней грани примерно в случаях.

Это подтверждается опытом.

Относительная частота будет близка к числу Поэтому считают, что вероятность появления на верхней грани числа как и всякого другого числа от 1 до 6, равна

Анализом случайных событий, вероятность которых подсчитывается непосредственно, мы и займемся ниже.

Определение 1. Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Определение 2. Будем говорить, что случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть случаями (или шансами).

Событие (случай) такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого случая влечет появление события А.

Пример 2, В урне находится 8 шаров, на каждом из которых Поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные шары черные. Появление шара с цифрой 1 (так же как и появление шара с цифрой 2 или 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара.

Для рассматриваемого случая можно дать иное, чем в § 1, определение вероятности.

Определение. 3. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев , образующих полную группу равновозможных несовместных событий, или символически

Определение 4. Если какому-либо событию благоприятствуют все случаев, образующих полную группу равновозможных несовместных событий, то такое событие называется достоверным; его вероятность р = 1.

Событие, которому не благоприятствует ни один из случаев, образующих полную группу равновозможных несовместных событий, называется невозможным, его вероятность р = 0.

Замечание 1. Противоположные утверждения в данном случае также верны. Однако в других случаях, например в случае непрерывной случайной величины (§ 12), противоположные утверждения могут быть и неверны, т. е. из того, что вероятность какого-либо события равна 1 или 0, еще не следует, что это событие достоверно или невозможно.

Из определения вероятности следует, что она удовлетворяет соотношению

Пример 3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Решение. Здесь всего случаев . Событие А — появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих событию

Следовательно,

Пример 4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность Выпадения герба на обеих монетах (т. е. двух гербов)?

Решение. Составим схему возможных случаев.

Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1.

Следовательно, вероятность выпадения герба на обеих монетах будет

Пример 5. Вероятность попадания в некоторую цель при стрельбе из первого орудия равна 8/10, при стрельбе из другого орудия - 7/10. Найти вероятность поражения цели при одновременном выстреле обоих орудий. Цель будет поражена, если будет хотя бы одно попадание из какого-либо орудия.

Решение. Эта задача моделируется следующим образом. В двух урнах находится по 10 шаров, пронумерованных от 1 до 10. В первой урне красных и 2 черных, во второй 7 красных и 3 черных. Вынимается по одному шару из каждой урны. Какова вероятность, что среди вынутых двух шарсв имеется хотя бы один красный?

Так как каждый шар первой урны может быть вынут с любым шарсм второй, то всего случаев .

Подсчитаем благоприятствующие случаи.

При вынимании каждого из 8 красных шаров первой урны одновременно с любым шаром второй урны в числе вынутых будет находиться по крайней мере один красный шар. Таких случаев будет . При вынимании каждого из 2 черных шаров первой урны одновременно с любым из 7 красных шаров второй урны в числе вынутых будет Один красный. Таких случаев будет . Таким образом, всего благоприятствующих случаев будет

Вероятность того, что среди вынутых будет по крайней мере один красный шар, равна

Такова будет и вероятность поражения цели.

Замечание 2. В этом примере задачу о вероятности при стрельбе мы свели к задаче о вероятности появления того или иного шара при вынимании шаров из урны. Многие задачи теории вероятности можно свести к «схеме урн». Поэтому на задачи о вынимании шаров из следует смотреть как на задачи обобщенные.

Пример 6. В партии из 100 изделий 10 изделий бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых 4 изделий 3 будут не бракованные?

Решение. Взять 4 изделия из 100 можно следующим числом способов: Число случаев, когда среди этих 4 изделий будут 3 не бракованные, равно

Искомая вероятность будет