§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть имеем уравнение

где — действительные числа.

В предыдущем параграфе был указан общий метод нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда бывает возможно найти проще, не прибегая к интегрированию. Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1).

I. Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т. е. имеет вид

где многочлен степени. Тогда возможны следующие частные случаи:

а) Число а не является корнем характеристического уравнения

В этом случае частное решение нужно искать в виде

Действительно, подставляя у в уравнение (1) и сокращая все члены на множитель будем иметь:

многочлен степени многочлен степени многочлен степени Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно ), получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов

б) Число а есть простой (однократный) корень характеристического уравнения.

Если бы в этом случае частное решение мы стали искать в форме (3), то в равенстве (4) слева получился бы многочлен степени, так как коэффициент при равен нулю, а многочлены имеют степень, меньшую . Следовательно, ни при каких равенство (4) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена степени, но без свободного члена (так как свободный член этого многочлена исчезнет при дифференцировании)

в) Число а есть двукратный корень характеристического уравнения. Тогда в результате подстановки в дифференциальное уравнение функции степень многочлена понижается

на две единицы. Действительно, если а — корень характеристического уравнения, то кроме того, так как a является двукратным корнем, то (так как по известной теореме элементарной алгебры сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с обратным знаком). Итак, .

Следовательно, в левой части равенства (4) останется т. е. многочлен степени. Для того чтобы в результате подстановки получить многочлен степени , следует частное решение искать в виде произведения на многочлен степени. При этом свободный член этого многочлена и член в первой степени исчезнут при дифференцировании; поэтому их можно не включать в частное решение.

Итак, в случае, когда а является двукратным корнем характеристического уравнения, частное решение можно брать в форме

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения есть

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид хеох (т. е. вид ), причем 0 не является корнем характеристического уравнения , то частное решение будем искать в форме , т. е. положим

Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим

откуда

Следовательно,

Общее решение будет

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Общее решение однородного уравнения найдем легко:

Правая часть заданного уравнения имеет вид Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического

уравнения, то частное решение ищем в виде , или . Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение, будем иметь

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим

откуда Следовательно, частное решение будет

и общее решение

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Здесь правая часть имеет вид причем коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического многочлена. Следовательно, частное решение ищем в виде или

подставляя это выражение в уравнение, будем иметь

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим

откуда Следовательно, частным решением является

а общим

II. Пусть правая часть имеет вид

где многочлены.

Этот случай может быть рассмотрен приемом, примененным в предыдущем случае, если перейти от тригонометрических функций к показательным. Заменяя и через показательные функции по формулам Эйлера {см. § 5 гл. VII), получим

или

Здесь в квадратных скобках стоят многочлены, степени которых равняются высшей из степеней многочленов Таким образом, получили правую часть вида, рассмотренного в случае 1.

Доказывается (приводить доказательство мы не будем), что можно найти частные решения, не содержащие комплексные числа.

Итак, если правая часть уравнения (1) имеет вид

где — многочлены от х, то форма частного решения определяется так:

а) если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде

где многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов

б) если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

При этом во избежание возможных ошибок надо отметить, что указанные формы частных решений (8) и (9), очевидно, сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (1) один из многочленов тождественно равен нулю, т. е. когда правая часть имеет вид или .

Рассмотрим, далее, важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид

где M и постоянные числа.

а) Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

б) Если является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

Отметим, что функция (7) является частным случаем функции функции (8) и (9) являются частными случаями функций (8) и (9).

Пример 4. Найти общий интеграл линейного неоднородного уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Поэтому общий интеграл соответствующего

однородного уравнения есть

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

где А и В — постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя у в заданное уравнение, будем иметь

Приравнивая коэффициенты при получим два уравнения для определения А и В.

откуда . Общее решение данного уравнения: , т. е.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

Тогда

Подставляя эти выражения производных в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при получаем систему уравнений для определения А и В: , откуда Таким образом, общий интеграл данного уравнения

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Правая часть уравнения имеет вид

причем . Характеристическое уравнение имеет корни Общее решение однородного уравнения есть

Так как число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

Подставляя это выражение в уравнение, получим после приведения подобных членов

Приравнивая коэффициенты при , получим

Отсюда . Следовательно, частное решение

а общее

Замечание. Отметим, что все рассуждения этого параграфа справедливы и для линейного уравнения первого порядка. Рассмотрим, например, уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами (это уравнение часто встречается в технических приложениях)

где а и b — постоянные. Находим общее решение однородного уравнения

Составляем характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения будет

Ищем частное решение у неоднородного уравнения в форме

Подставляя в уравнение (10), получаем . Итак,

Общее решение уравнения (10) будет