§ 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы

При изучении упругих колебаний механических систем и особенно при изучении электрических колебаний приходится рассматривать различные виды внешней силы f (t). Рассмотрим подробно случай периодической внешней силы. Пусть уравнение (47) имеет вид

Для выяснения характера движения достаточно рассмотреть случай, когда . Можно было бы получить решение уравнения по формуле (52), но здесь с методической точки зрения удобнее получить решение, проделав все промежуточные вычисления.

Напишем изображающее уравнение

откуда получаем

Рассмотрим случай, когда . Стоящую справа дробь разлагаем на элементарные дроби:

Постоянные N, В, С, D определяем методом неопределенных коэффициентов. Пользуясь ффрмулой (38), из (57) найдем начальную функцию

здесь снова Это и есть решение уравнения (56), удовлетворяющее начальным условиям: при

Рассмотрим частный случай, когда Это соответствует тому, что в механической, например, системе нет внутреннего сопротивления, нет амортизатора. В случае электрического контура это соответствует тому, что т. е. отсутствует внутреннее сопротивление цепи. Уравнение (56) в этом случае принимает вид

а решение этого уравнения, удовлётворяющее условиям при получится, если в формуле (59) положить :

Здесь имеем сумму двух гармонических колебаний: собственных с частотой,

и вынужденных с частотой со,

Для случая, когда характер колебаний изображен на рис. 400.

Рис. 400.

Вернемся снова к формуле (59). Если что и имеет место в рассмотренных механических и электрических системах, то член, содержащий множитель представляющий затухающие собственные колебания, при t возрастающем быстро убывает. При достаточно большом t характер колебаний будет определяться членом, не содержащим множителя , т. е. членом

Введем обозначения

где

Решение (62) можно переписать так:

Из формулы (64) следует, что частота k вынужденных колебаний не совпадает с частотой внешней силы. Если внутреннее сопротивление, характеризующееся числом мало, а частота близка к частоте то амплитуда колебаний может быть сделана как угодно большой, так как знаменатель может быть как угодно малым. При решение не выражается формулой (64).