§ 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов

В аналитической геометрии был определен вектор в трехмерном пространстве

где единичные взаимно (перпендикулярные векторы, направленные по осям координат. Векторы будем в дальнейшем обозначать

Аналогичным образам можно определить вектор в -мерном пространстве

Совокупность векторов вида А будем называть n-мерном евклидовым пространством и обозначать Векторы А будем называть элементами или точками -мерного евклидова пространства. Укажем свойства пространства

Пусть даны два вектора пространства

Если - действительные числа, то по аналогии с трехмерным пространством

есть вектор пространства

Скалярным произведением векторов А и В называется выражение

Векторы принадлежат пространству к ним также применима формула (2).

Следовательно, получаем при

при

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными. Следовательно, векторы ортогональны.

Как и в трехмерном пространстве, легко устанавливаются следующие свойства скалярного произведения:

Длина или модуль вектора А определяется, как и в трехмерном пространстве:

Длину разности двух векторов естественно определяют так:

В частности,

Угол между двум» векторами определяется так

Рассмотрим совокупность всех кусочно монотонных ограниченных на отрезке функций. Обозначим эту совокупность через Ф и будем называть пространством функций Ф. Функции, принадлежащие этому пространству, будем называть элементами или точками пространства Ф. Можно установить операции над функциями пространства Ф, аналогичные операциям, которые мы производили над векторами пространства

Если - любые действительные числа и элементы пространства Ф, то

есть элемент пространства Ф.

Если функции пространства Ф, то скалярным произведением функций называется выражение

Это выражение аналогично выражению (2). Легко проверить, что скалярное произведение (8) обладает свойствами, аналогичными свойствам (3) для векторов:

Аналогично определению модуля вектора по формуле (4) определяется так называемая норма элемента f(x) пространства Ф:

Расстояние между элементами пространства Ф аналогично формуле (5) будем называть выражение

Выражение (11) расстояния между элементами пространства называется метрикой пространства. Оно с точностью до множителя совпадает со среднеквадратичным уклонением , определенным в § 7.

Очевидно, что если совпадают во всех точках отрезка то Но если то во всех точках отрезка кроме конечного числа точек Но в этом случае также говорят, что элементы пространства Ф тождественны.

Пространство кусочно монотонных ограниченных функций, в котором определены операции (7), (8) и метрика определяется равенством (11), называется линейным функциональным пространством с квадратичной метрикой. Элементы пространства Ф называются точками пространства или векторами.

Рассмотрим, далее, последовательность функций

принадлежащих пространству .

Последовательность функций (12) называется ортогональной на отрезке если при любых выполняются равенства

На основании равенств (I) § 1 следует, что, например, система функций

ортогональна на отрезке .

Покажем, далее, что разложение функции в ряд Фурье по ортогональным функциям аналогично разложению вектора по

ортогональным векторам. Пусть дан вектор

Мы предполагаем, что векторы ортогональны, т. е. если , то

Чтобы определить проекцию умножаем скалярно правую и левую части равенства (14) на вектор На основании свойств (2), (3) получаем:

Учитывая (15), получаем

откуда

Допустим, далее, что функция f(x) разложена по системе ортогональных функций:

Умножая скалярно обе части равенства (17) на и учитывая равенства (9) и (13), получим

откуда

Формула (18) аналогична формуле (16).

Обозначим, далее,

Если

то система ортогональных функций (12) является полной на отрезке

Ряд Фурье (17) сходится к функции f(x) в среднем.