§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что координаты х и у являются функциями новых переменных
и
:
причем функции
однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области
которая будет определена ниже. Тогда по формулам (1) каждой паре значений
соответствует единственная пара значений
Предположим далее, что функции
таковы, что если мы дадим х и у определенные значения из области D, то по формулам (1) найдем определенные значения и и
Рассмотрим прямоугольную систему координат
На основании сказанного следует, что каждой точке
на плоскости Оху (рис. 319) однозначно соответствует точка
на плоскости
с координатами
, которые определяются по формулам (1).
Рис. 318.
Рис. 319.
Числа и и v называются криволинейными координатами точки Р.
Если в плоскости Оху точка опишет замкнутую линию L, ограничивающую область D, то в плоскости
соответствующая точка опишет замкнутую линию L, ограничивающую некоторую область
при этом каждой точке области D соответствует точка области
Таким образом, формулы (1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D или, как говорят, взаимно однозначно отображают область D на область D.
Рассмотрим в области
линию
. По формулам (1) найдем, что в плоскости Оху ей будет соответствовать, вообще говоря, некоторая кривая. Точно так же каждой прямой
плоскости
будет соответствовать некоторая линия в плоскости Оху.
Разобьем область D прямыми
на прямоугольные площадки (при этом площадки, задевающие границу области
мы не будем принимать в расчет). Соответствующими кривыми линиями область D разобьется на некоторые криволинейные четырехугольники (рис. 319).
Рассмотрим в плоскости
прямоугольную площадку
, ограниченную прямыми
и находится по формуле аналитической геометрии:
здесь вторые (внешние) вертикальные линейки означают, что этот определитель берется по абсолютной величине. Введем обозначение
Таким образом,
Определитель I называется функциональным определителем функций
. Его называют также якобианом по имени немецкого математика Якоби.
Равенство (4) является только приближенным, так как в процессе вычисления площади
мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка. Однако чем меньшими будут размеры площадок
, тем это равенство будет точнее. Оно становится совершенно точным в пределе, когда диаметры площадок
стремятся к нулю:
Применим теперь полученное равенство к вычислению двойного интеграла. На основании равенства (2) можем написать
(интегральная сумма справа распространена на область D). Переходя к пределу при
получим точное равенство:
Это и есть формула преобразования координат в двойном интеграле. Она дает возможность свести вычисление двойного интеграла по области D к вычислению двойного
интеграла по области D, что может упростить задачу. Впервые строгое доказательство этой формулы было дано выдающимся русским математиком М. В. Остроградским.
Замечание. Переход от прямоугольных координат к полярным, рассмотренный в предыдущем параграфе, является частным случаем замены переменных в двойном интеграле.
Рис. 320.
Рис. 321.
В этом случае
Кривая
на плоскости
переходит в прямую АВ на плоскости
Кривая
на плоскости Оху переходит в прямую DC на плоскости
Прямые AD и ВС плоскости Оху переходят в прямые
плоскости
Кривые
переходят в кривые
Вычислим якобиан преобразования декартовых координат х и у в полярные
Следовательно,
и поэтому
Эта формула и была установлена в предыдущем параграфе. Пример. Пусть требуется вычислить двойной интеграл
по области D в плоскости
ограниченной прямыми
Непосредственное вычисление этого двойного интеграла было бы затруднительным; однако простая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику, стороны которого параллельны осям координат. Положим
Тогда прямые
перейдут соответственно в прямые
на плоскости
прямые же
перейдут в прямые
Рис. 322.
Следовательно, заданная область D преобразуется в прямоугольную область
изображенную на рис. 322. Остается вычислить якобиан преобразования. Для этого выразим х и у через и и
Решая систему уравнений (6), получим
Следовательно,
и абсолютная величина якобиана равна
. Поэтому