§ 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей

Пусть в плоскости дана область D, ограниченная контуром С. Пусть на контуре С задана непрерывная функция Требуется найти приближенное решение уравнения Лапласа

удовлетворяющее граничному условию

Проведем два семейства прямых

где h — заданное число, принимают последовательные целочисленные значения. Будем говорить, что область D покрыта сеткой. Точки пересечения прямых будем называть узлами сетки. Приближенное значение искомой функции в точке

будем обозначать Аппроксимируем область D сетчатой областью D, состоящей из всех квадратов, целиком лежащих в области D, и некоторых пересекаемых границей С (последние можно и не учитывать). При этом контур С аппроксимируется контуром С, состоящим из отрезков прямых типа (3). В каждом узле, лежащем на контуре С, зададим значение равное значению функции в ближайшей точке контура С (рис. 395).

Рис. 395.

Значения искомой функции будем рассматривать только в узлах сетки. Как уже было сказано в § 6, в рассматриваемом приближенном методе производные заменяются конечными разностями:

Дифференциальное уравнение (1) заменяется разностным уравнением или уравнением в конечных разностях (после сокращения

на

или (рис. 395)

Для каждого узла сетки, лежащего внутри области D (и не лежащего на границе С), составляем уравнение (4). Если точка соседняя с точкой контура С, то в правой части равенства (4) некоторые слагаемые суть известные значения

Таким образом, получаем неоднородную систему N уравнений с N неизвестными (N — число узлов сетки, лежащих внутри области

Рис. 396.

Докажем, что система (4) имеет решение, и притом единственное. Это есть система N линейных уравнений с N неизвестными. Она имеет единственное решение в том случае, если определитель системы отличен от нуля. Определитель системы отличен от нуля, если однородная система имеет только тривиальное (нулевое) решение. Система будет однородной, если в узлах сетки на границе контура С. Мы докажем, что в этом случае все значения во всех внутренних узлах сетки равны нулю. Пусть внутри области есть отличные от нуля. Для определенности предположим, что наибольшее из них положительно. Обозначим его через

На основании формулы (4) напишем

Это равенство может иметь место только в том случае, если все значения и, стоящие справа, равны наибольшему Теперь имеем пять точек, в которых значения искомой функции суть . Если ни одна из этих точек не есть граничная, то, беря одну из них и написав для нее равенство (4), докажем, что в нескольких других точках значение искомой функции будет равно Продолжая так, дойдем до границы и докажем, что в граничной точке значение функции будет равно Это противоречит тому, что в граничных точках

Предполагая, что внутри области имеется отрицательное наименьшее значение, мы докажем, что на границе значение функции отрицательно. Это противоречит данному условию.

Итак, система (4) имеет решение, и притом единственное. Определенные из системы (4) значения и являются приближенными значениями решения сформулированной выше задачи Дирихле. Доказано, что если решение задачи Дирихле для данной области D и данной функции существует (обозначим его через и если к есть решение системы (4), то имеет место соотношение

где А — постоянная, не зависящая от

Замечание. Бывает оправдан, хотя строго и не доказан, следующий прием для оценки погрешности приближенного решения. Пусть — приближенное решение при шаге приближенное решение при шаге погрешность решения Тогда имеет место приближенное равенство

в общих узлах сеток. Итак, для того чтобы определить погрешность приближенного решения при шаге Л, нужно найти решение при шаге Одна треть разности этих приближенных решений и является оценкой погрешности решения при шаге h. Это замечание можно отнести и к решению уравнения теплопроводности методом конечных разностей.