§ 9. Функциональные ряды

Ряд

называется функциональным, если его члены являются функциями от

Рассмотрим функциональный ряд

Давая определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность тех значеций при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от Поэтому сумму функционального ряда обозначают через

Пример. Рассмотрим функциональный ряд

Этот ряд сходится при всех значениях в интервале т. е. при всех удовлетворяющих условию Для каждого значения в интервале (-1, 1) сумма ряда равна - (сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем х). Таким образом, в интервале (-1, 1) данный ряд определяет функцию

которая является суммой ряда, т. е.

Обозначим через сумму первых членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна то

где есть сумма ряда , т. е.

В этом случае величина назьюается остатком ряда (1). Для всех значений в области сходимости ряда имеет место соотношение , поэтому

т. е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при .