§ 5. Распространение тепла в пространстве

Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть — температура в точке с координатами в момент t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку , т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой (аналогичной формуле (1) предыдущего параграфа)

где к — коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, — единичный вектор, направленный по нормали к площадке в направлении движения тепла. На основании § 14 гл. VIII т. 1 можем написать

где — направляющие косинусы вектора , иди

Подставляя выражение в формулу (1), получаем

Количество тепла, протекающего за время через площадку будет равно

Вынемся к поставленной в начале параграфа задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем К, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно

где — единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (2) дает количестве тепла, поступающего в объем V (или уходящего из объема V) за время Количество тепла, поступившего в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.

Рассмотрим: элементарный объем Пусть за время его температура поднялась на Очевидно, что количество тепла затраченное на это повышение температуры элемента будет равно

где с — теплоемкость вещества, — плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время будет

Но это есть тепло, поступившее в объем - V за время оно определено формулой (2). Таким образом, имеет место равенство

Сокращая на получаем

Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (см. § 8 гл. XV), полагая :

Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (3), тройным интегралом, получим

или

Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящему слева (см. §. 12 гл. XIV), получим

где — некоторая точка объема V.

Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральная, функция в равенстве

(4) непрерывна, то равенство (5) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,

Но

и

(см. § 8 гл. XV). Подставляя в уравнение (6), получаем

Если k — постоянная, то

и уравнение (6) в этом случае дает

или, положив

Коротко уравнение (8) записывается так:

где - оператор Лапласа. Уравнение (8) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти его единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.

Пусть имеем тело Q, поверхность которого а. В этом теле рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при начальное условие:

Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности а тела в любой момент времени - граничное условие:

(Возможны и другие граничные условия.)

Если искомая функция и не зависит от , что соответствует тому, что температура не зависит от , то получаем уравнение

- уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространение тепла в плоской области D с границей С, то краевые условия, аналогично (9) и (10), формулируются так:

где - заданные функции, М — точка границы С.

Если же функция и не зависит ни от , ни от у, то получаем уравнение

- уравнение распространения тепла в стержне.