§ 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях

Пусть производится серия из испытаний. В каждбм из испытаний может осуществляться событие А с вероятностью . Пусть х — случайная величина, означающая относительную частоту появления события А в серии из испытаний. Требуется определить закон распределения случайной величины в серии из испытаний.

Очевидно, что случайная величина при испытаниях примет одно из следующих значений:

Теорема 1. Вероятность того, что переменная величина примет значение т. е. что при испытаниях событие А появится раз, а событие А (не появится событие А) раз, равняется где число сочетаний из

ментов по — вероятность появления события - вероятность непоявления события А, т. е.

Доказательство. Событие А появится раз при испытаниях, например, если чередование событий А и А будет таким:

т. е. в первых испытаниях появляется событие А, а в последующих испытаниях событие А не появляется (появляется событие А). Так как

то по теореме умножения вероятность такого чередования событий А и А будет

Но событие А может появиться раз при испытаниях и при другой последовательности чередования событий , например, при таком чередовании: . Но обязательно событие А должно произойти раз, а событие раз. Вероятность появления такого чередования событий будет

Сколько же различных чередований событий может быть при испытаниях, в которых событие А появится раз? Очевидно, что оно равно числу сочетаний из элементов по :

Таким образом; по теореме сложения получаем

или

Теорема доказана.

Доказав теорему, мы тем самым определили закон распределения случайной величины который мы выразим и в виде таблицы

Полученный закон распределения называется биномиальным законом, потому что вероятности равняются соответствующим членам разложения выражения по формуле бинома:

Как и следовало ожидать, сумма вероятностей всех возможных значений переменной величины равна 1, так как

Замечание. При исследовании многих вопросов бывает нужно определить вероятность того, что событие А осуществится «хотя бы один раз», т. е. относительная частота этого события

Очевидно, что эта вероятность определится из равенства

Из таблицы распределения также следует, что вероятность того что событие произойдет не менее чем k раз, определится по формуле

или

Пример 1. Изобразить графически биномиальный закон распределения случайной величины при

Решение. Определим все значения вероятностей, входящие в таблицу;

Построим многоугольник распределения (рис. 410).

Рис. 410.

Пример 2. Какова вероятность того, что событие А произойдет два раза а) при 2 испытаниях; б) при 3 испытаниях; в) при 10 испытаниях, если вероятность появления события при каждом испытании равняется 0,4?

Решение, а) Здесь

Пример 3. По цели производится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Для поражения цели достаточно трех попаданий. Определить вероятность поражения цели.

Решение. Здесь Очевидно, что вероятность поражения следует вычислять по формуле

или по формуле

По первой формуле имеем

Пример 4. Производится четыре независимых испытания. Вероятность появления события А при каждом испытании 0,5. Определить вероятность того, что событие А появится не менее двух раз.

Решение. Здесь

или

Вычислим вероятность

Следовательно, по второй из формул получаем

Пример 5. Вероятность брака в данной партии деталей Какова вероятность того, что в партии из трех деталей будет бракованных деталей?

Решение.