§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

До сих пор мы рассматривали ряды, члены которых положительны. В этом параграфе будем рассматривать ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т. е. ряды вида

где положительны.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующейся ряде

члены таковы, что

и

то ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим сумму первых членов ряда (1):

Из условия (2) следует, что выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, сумма положительна,

и возрастает с возрастанием . Запишем теперь эту же сумму так:

В силу условия (2) каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из мы получим число, меньшее , т. е.

Таким образом, мы установили, что при возрастании возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел

причем

Однако сходимость ряда еще недоказана; мы доказали только, что последовательность «четных» частичных сумм имеет пределов число s. Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу s.

Рассмотрим для этого сумму первых членов ряда (1):

Так как по условию то, следовательно

Тем самым мы доказали, что как при четном так и при нечетном . Следовательно, ряд (1) сходится,

Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (2) выполняются, начиная с некоторого

Замечание 2. Теорема Лейбница иллюстрируется геометрически следующим образом. Будем на числовой прямой откладывать частичные суммы (рис. 362)

Точки, соответствующие частичным суммам, будут приближаться к некоторой точке s, которая изображает сумму ряда. При этом точки, соответствующие четным частичным суммам, располагаются слева от s, а точки, соответствующие нечетным частичным суммам, — справа от

Рис. 362.

Замечание 3. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теоремы Лейбница, то нетрудно оценить погрешность, которая получится, если заменить его сумму s частичной суммой s. При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с . Но эти числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда (т. е. меньше ). Значит, погрешность, получающаяся при замене s на не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Пример 1. Ряд

сходится, так как

1)

2)

Сумма первых членов этого ряда

отличается от суммы ряда s на величину, меньшую

Пример. 2. Ряд

сходится в силу теоремы Лейбница