§ 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений

Определение 1. Минором данной матрицы называется определитель, составленный без перестановок из оставшихся элементов матрицы после вычеркивания из нее нескольких строк и столбцов.

Пример 1. Пусть дана матрица

Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычеркивания одного столбца и замены знака матрицы знаком определителя Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычеркивания двух столбцов и одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.

Определение 2. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А.

Пример 2. Легко проверить, что ранг матрицы

равен 2.

Пример 3. Ранг матрицы

равен 1.

Если матрица А квадратная порядка , то ранг этой матрицы k удовлетворяет соотношению Как указывалось выше, если то матрица называется невырожденной, если то матрица называется вырожденной.

Например, матрица

является невырожденной, так как ; матрица в примере 2 особая, так как там .

Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений. Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть дана система линейных уравнений:

Введем в рассмотрение матрицу системы

и расширенную матрицу

Система (1) имеет решения, если ранг матрицы А равен рангу матрицы В. Система не имеет решений, если ранг матрицы А меньше ранга матрицы В. Если ранг матрицы А и ранг матрицы В равен 3, то система имеет единственное решение.

Если ранг матриц А и В равен 2, то система имеет бесчисленное множество решений, при этом два неизвестных выражаются через третье, которое имеет произвольное значение.

Если ранг матриц А и В равен 1, то система имеет бесчисленное множество решений, при этом два неизвестных имеют произвольные значения, а третье выражается через них.

Справедливость этой теоремы легко устанавливается на основании анализа решений системы уравнений, известного из алгебры. Эта теорема справедлива для системы любого числа уравнений.