§ 6. Уравнения, приводящиеся к однородным
К однородным уравнениям приводятся уравнения вида
Если
то уравнение (1) есть, очевидно, однородное. Пусть теперь с и
(или одно из них) отличны от нуля. Сделаем замену переменных
Тогда
Подставляя в уравнение (1) выражения
, будем иметь
Подберем h и k так, чтобы выполнялись равенства
т. е. определим h и k как решения системы уравнений (4). При этом условии уравнение (3) становится однородным:
Решив это уравнение и перейдя снова к х и у по формулам (2), получим решение уравнения (1).
Система (4) не имеет решения, если
т. е.
. Но в этом случае
и, следовательно, уравнение (1) можно преобразовать к виду
Тогда подстановкой
уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно,
откуда
Подставляя в уравнение (5) выражения (6) и (7), получим
а это есть уравнение с разделяющимися переменными.
Прием, примененный к интегрированию уравнения (1), применяется и к интегрированию уравнения
где
- какая угодно непрерывная функция.
Пример 1. Дано уравнение
Чтобы преобразовать его в однородное уравнение, делаем замену
. Тогда
Решая систему двух уравнений
находим
В результате получаем однородное уравнение
которое решаем подстановкой
тогда
и мы получаем уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
или
Подставляя сюда
вместо и, получим
Наконец, переходя к переменным
окончательно получаем
Пример 2. Уравнение
уже нельзя решить подстановкой
так как в этом случае система уравнений, служащая для определения h и 6, неразрешима здесь определитель
из коэффициентов при переменных равен нулю
Это уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой
Тогда
и уравнение приводится к виду
или
Решая его, найдем
Так как
то мы получим окончательно решение исходного уравнения в виде
или
т. е. в виде неявной функции у от х.