§ 6. Уравнения, приводящиеся к однородным

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида

Если то уравнение (1) есть, очевидно, однородное. Пусть теперь с и (или одно из них) отличны от нуля. Сделаем замену переменных

Тогда

Подставляя в уравнение (1) выражения , будем иметь

Подберем h и k так, чтобы выполнялись равенства

т. е. определим h и k как решения системы уравнений (4). При этом условии уравнение (3) становится однородным:

Решив это уравнение и перейдя снова к х и у по формулам (2), получим решение уравнения (1).

Система (4) не имеет решения, если

т. е. . Но в этом случае и, следовательно, уравнение (1) можно преобразовать к виду

Тогда подстановкой

уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Действительно,

откуда

Подставляя в уравнение (5) выражения (6) и (7), получим

а это есть уравнение с разделяющимися переменными.

Прием, примененный к интегрированию уравнения (1), применяется и к интегрированию уравнения

где - какая угодно непрерывная функция.

Пример 1. Дано уравнение

Чтобы преобразовать его в однородное уравнение, делаем замену . Тогда

Решая систему двух уравнений

находим

В результате получаем однородное уравнение

которое решаем подстановкой

тогда

и мы получаем уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

или

Подставляя сюда вместо и, получим

Наконец, переходя к переменным окончательно получаем

Пример 2. Уравнение

уже нельзя решить подстановкой так как в этом случае система уравнений, служащая для определения h и 6, неразрешима здесь определитель из коэффициентов при переменных равен нулю

Это уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой

Тогда и уравнение приводится к виду

или

Решая его, найдем

Так как то мы получим окончательно решение исходного уравнения в виде

или

т. е. в виде неявной функции у от х.