§ 10. Мажорируемые ряды

Определение. Функциональный ряд

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд

с положительными членами, что для всех значений изданной области выполняются соотношения

Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

Например, ряд

есть ряд, мажорируемый на всей оси Ох. Действительно, для всех значений выполняется соотношение

а ряд

как известно, сходится.

Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой области (см. § 8). Кроме того, мажорируемый ряд обладает еще следующим важным свойством.

Теорема. Пусть функциональный ряд

мажорируем на отрезке . Пусть - сумма этого ряда, - сумма первых членов этого ряда. Тогда для каждого» как угодно малого числа найдется положительное число N такое, что при всех будет выполняться неравенство

какова бы ни было из отрезка

Доказательство. Обозначим через а сумму ряда

тогда

где — сумма первых членов ряда (2), а - сумма всех остальных членов этого ряда, т. е.

Так как этот ряд сходится, то

и, следовательно,

Представим теперь сумму функционального ряда (1) в виде

где

Из условия (3) следует, что

и поэтому

для всех х из рассматриваемой области.

Таким образом,

для всех отрезка причем при

Замечание 1. Полученный результат можно геометрически иллюстрировать следующим образом.

Рассмотрим график функции . Построим около этой кривой полосу шириной , т. е. построим кривые

и (рис. 363). Тогда при любом график функции будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе будут лежать графики всех последующих частичных сумм.

Замечание 2. Не всякий функциональный ряд, сходящийся на отрезке обладает свойством, указанным в доказанной теореме. Но существуют и немажорируемые ряды, которые обладают указанным свойством. Всякий ряд, обладающий указанным свойством, называется равномерно сходящимся рядом на отрезке

Рис. 363.

Итак, функциональный ряд называется равномерно сходящимся на отрезке если для любого как угодно малого найдется такой номер N, что при всех будет выполняться неравенство

для любого из отрезка

На основании доказанной теоремы следует, что мажорируемый ряд является рядом, равномерно сходящимся.