§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l

Пусть f (х) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от . Разложим ее в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

Тогда функция будет периодической функцией от t с периодом . Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке —

где

Возвратимся теперь к старой переменной х:

Тогда будем иметь

Формула (1) примет вид

где коэффициенты вычисляются по формулам (2). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом , сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 21. В частности, сохраняет свою силу достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье (см. конец § 1), замечание о возможности вычислять коэффициенты ряда, интегрируя по любому отрезку, длина которого равна периоду (см. § 3),

а также замечание о возможности упростить вычисление коэффициентов ряда, если функция является четнойили нечетной (§ 4).

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом которая на отрезке задается равенством

Рис. 383.

Решение. Так как рассматриваемая функция четная, то

Следовательно, разложение имеет вид