§ 4. Действия над матрицами. Сложение матриц

Определение 1. Суммой двух матриц с одинаковым количеством строк и одинаковым количеством столбцов называется матрица у которой элементом является сумма соответствующих элементов матриц т. е.

если

Пример 1.

Аналогичным образом определяется разность двух матриц.

Целесообразность такого определения суммы двух матриц, в частности, следует из представления вектора как столбцевой матрицы.

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число нужно умножить на это число каждый элемент матрицы:

Если целое, то формула (3) получается как следствие правила сложения матриц.

Пример 2.

Произведение двух матриц. Пусть имеем линейное преобразование плоскости на плоскость

с матрицей преобразования

Пусть, далее, произведено линейное преобразование плоскости на плоскость

с матрицей преобразования

Требуется определить матрицу преобразования плоскости на плоскость Подставляя выражения (4) в равенства получаем

или

Матрица полученного преобразования будет

или коротко

Матрицу (9) называют произведением матриц (7), (5) и пишут

или коротко

Сформулируем далее правило умножения двух матриц В и А, если первая содержит строк и k столбцов, а вторая k строк и столбцов.

Схематически оно показано в равенстве

Элемент матрицы С, являющейся произведением матрицы В на матрицу А, равен сумме произведений элементов строки матрицы В на соответствующие элементы столбца матрицы А, т. е.

Пример 3. Пусть

тогда

В данном примере

Мы пришли к следующему выводу. При умножении матриц не справедлив переместительный закон.

Пример 4. Даны матрицы

Найти АВ и ВА.

Решение. По формуле (13) находим

Пример 5. Найдем произведение матриц:

Путем непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц ( - число, А, В, С — матрицы):

На основании правил умножения квадратной матрицы А на число k и правила вынесения общего множителя элементов столбцов определителя для матрицы порядка следует

Так как при умножении двух квадратных матриц А и В получается квадратная матрица, элементы которой образуются по правилу умножения определителей, то очевидно, что справедливо следующее равенство:

Умножение на единичную матрицу. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю (как указывалось выше), называется единичной матрицей.

Так, единичной матрицей порядка будет

На основании правила умножения матриц получаем:

т. е.

а также

Легко видеть, что произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице, т. е. справедливы равенства (21) и (22). Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.

Единичной матрице (20) соответствует преобразование

Такое преобразование называется тождественным. Обратно, тождественному преобразованию соответствует единичная матрица. Аналогичным образом определяется тождественное преобразование любого числа переменных.