§ 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье

В предыдущем параграфе было показано, что если функция f(х) кусочно непрерывна на отрезке , то сходимость ряда Фурье в данной точке к значению функции зависит от поведения функции в некоторой произвольно малой окрестности с центром в точке

Рис. 388,

Докажем, далее, что если в окрестности функция f(x) такова, что существуют конечные пределы

а в самой точке функция непрерывна (рис. 388), то в этой точке ряд Фурье сходится к соответствующему значению функции

Доказательство. Рассмотрим функцию определенную в предыдущем параграфе:

так как функция f(x) кусочно непрерывна на отрезке и непрерывна в точке , то, следовательно, она непрерывна в некоторой окрестности точки Поэтому функция непрерывна во всех точках, где При функция не определена.

Найдем пределы используя условия

Таким образом, если мы доопределим функцию , положив , то она будет непрерывной на отрезке , а следовательно, и ограниченной. Аналогичным образом докажем, что

Следовательно, функция ограничена и непрерывна в промежутке . Таким образом, на отрезке функция ограничена и кусочно непрерывна. Вернемся теперь к равенству (1) § 9 (обозначив х через ):

или

На основании формул (5) <из § 7 заключаем, что стоящий справа предел равен нулю, а поэтому

или

Теорема доказана.

Доказанная теорема отличается от теоремы, сформулированной в § 1, тем, что если там для сходимости ряда Фурье в точке к значению функции требовалось, чтобы точка была точкой непрерывности на отрезке , а функция была кусочно монотонной, то здесь требуется, чтобы точка была точкой непрерывности функции и чтобы выполнялись условия (I) и (2), а на всем интервале функция была кусочно непрерывной и ограниченной. Очевидно, что эти условия различны.

Замечание 1. Если кусочно непрерывная функция - дифференцируема в точке , то очевидно, что условия (1) и (2) выполняются. При этом Следовательно, в точках, где функция f(x) дифференцируема, ряд Фурье сходится к значению функции в соответствующей точке.

Замечание 2. 1°. функция, рассмотренная в примере 2 § 2 (рис. 376), в точках удовлетворяет условиям (1) и (2). Во всех остальных точках она дифференцируема. Следовательно, построенный для нее ряд Фурье сходится в каждой точке к значению этой функции.

2°. Функция, рассмотренная в примере 4 § 2 (рис. 379), в точках удовлетворяет условиям (1) и (2). Во всех остальных точках она дифференцируема. Она представляется рядом Фурье в каждой точке.

3°. Функция, рассмотренная в примере 1 § 2 (рис. 375), в точках разрывна. Во всех остальных точках она дифференцируема. Следовательно, во всех точках, кроме точек разрыва, - соответствующий ей ряд Фурье сходится к значению функции в соответствующих точках. В точках разрыва сумма ряда Фурье равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева, в данном случае она равна нулю.