§ 13. Теорема свертывания
При решении дифференциальных уравнений операционным методом бывает полезна следующая Теорема свертывания. Если 
суть изображения функций 
есть изображение функции
т. е.
Доказательства. Найдем изображение функции 
исходя из определения изображения:
Стоящий справа интеграл есть двукратный интеграл, который берется по области, ограниченной прямыми 
Изменим порядок интегрирования в этом интеграле, тогда получим
Рис. 398.
Произведя замену переменной 
во внутреннем интеграле, получим
Следовательно,
Итак,
Это есть формула 15 таблицы 1.
Замечание 1. Выражение 
называется сверткой (складкой) двух функций 
Операция получения свертки называется свертыванием двух функций, при этом
Справедливость последнего равенства устанавливается путем 
замены переменной 
в правом интеграле.
Пример. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям 
при 
Решение. Пишем вспомогательное уравнение 34).
где 
изображение функции f (t). Следовательно, 
но 
. Применяя формулу свертывания (39), обозначив 
получим
Замечание 2. На основании теоремы свертывания легко находится изображение интеграла от данной функции, если извести» изображение этой функции; а именно, если 
то
Действительно, если мы обозначим
Подставляя эти функции в формулу (39), получим формулу (41).
