§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена

В § 6 главы IV (т. 1) было показано, что для функции имеющей все производные до порядка включительно, в окрестности точки х = а (т. е. на некотором интервале, содержащем точку х = а) справедлива формула Тейлора:

где так называемый остаточный член вычисляется по формуле

Если функция f(х) имеет производные всех порядков в окрестности точки х = а, то в формуле Тейлора число можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член стремится к нулю при

Тогда, переходя в формуле (1) к пределу при получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если при . В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции Докажем, что это действительно такз

где

Так как по условию , то

Но есть частичная сумма ряда (2); ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства (2). Следовательно, равенство (2) справедливо:

Из предыдущего следует, что ряд Тейлора представляет данную функцию f(x) только тогда, когда

. Если , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).

Если в ряде Тейлора положим , то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.

Отметим, что для каждой из элементарных функций, определенных в главы 1 (т. I) существует такое а и такое R, что в интервале она разлагается в ряд Тейлора или в ряд Маклорена.