§ 9. Момент инерции площади плоской фигуры

Моментом инерции I материальной точки М с массой относительно некоторой точки О называется произведение массы на квадрат ее расстояния от точки О:

Момент инерции системы материальных точек относительно точки О есть сумма моментов инерции отдельных точек системы:

Определим теперь момент инерции материальной плоской фигуры

Рис. 327.

Пусть фигура D расположена в координатной плоскости Оху. Определим момент инерции этой фигуры относительно начала координат, предполагая, что поверхностная плотность всюду равна единице.

Разобьем область D на элементарные площадки (рис. 327). На каждой площадке возьмем точку с координатами Назовем элементарным моментом инерции площадки - произведение массы площадки на квадрат расстояния

и составим сумму таких моментов

Она представляет собой интегральную сумму для функции по области D.

Момент инерции фигуры D определим как предел этой интегральной суммы, когда диаметр каждой элементарной площадки стремится к нулю:

Пределом этой суммы является двойной интеграл .

Следовательно, момент инерции фигуры D относительно начала координат равен

где D — область, совпадающая с данной плоской фигурой. Интегралы

называются соответственно моментами инерции фигуры D относительно осей

Пример 1. Вычислить момент инерции площади крута D радцуса R относительно центра О.

Решение. По формуле (1) имеем Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам . Уравнение окружности в полярных координатах есть . Поэтому

Замечание. Если поверхностная плотность у не равна единице, а является некоторой функцией от масса площадки , будет с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна и поэтому момент инерции плоской фигуры относительно начала координат будет

Пример 2. Вычислить момент инерции плоской материальной фигуры D, ограниченной линиями относительно оси Оу, если поверхностная плотность в каждой точке равна у (рис. 328).

Решение.

Эллипс инерции. Определим момент инерции площади плоской фигуры D относительно некоторой оси OL, проходящей через точку О, которую мы примем за начало координат. Обозначим через угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох (рис. 329).

Нормальное уравнение прямой OL есть

Расстояние какой-либо точки от этой прямой равно

Момент инерции 1 площади области D относительно прямой по определению выражается интегралом

Рис. 328.

Рис. 329.

Следовательно,

здесь — момент инерции фигуры относительно оси у, - момент инерции относительно оси

Разделив все члены последнего равенства получим

Возьмем на прямой OL точку А (X; У) так, чтобы Различным направлениям оси OL, т. е. различным значениям угла соответствуют различные значения I и различные точки А. Найдем геометрическое место точек А. Очевидно,

В силу равенства (5) величины связаны между собой соотношением

Таким образом, геометрическое место точек есть кривая второго порядка (6). Докажем, что эта кривая есть эллипс.

Рис. 330.

Справедливо следующее очень важное в приложениях неравенство, установленное русским математиком В. Я. Буняков ским:

или

Таким образом, дискриминант кривой (6) положителен и, следовательно, эта кривая есть эллипс (рис. 330). Этот эллипс называется

эллипсом инерции. Понятие эллипса инерции имеет существенное значение в механике.

Заметим, что длины осей эллипса инерции и его положение на плоскости зависят от формы данной плоской фигуры. как расстояние от начала координат до какой-либо точки А эллипса равно , где - момент инерции фигуры относительно оси О А, то, построив эллипс, можно легко подсчитать момент инерции фигуры D относительно какой-либо прямой, проходящей через начало координат. В частности, легко видеть, что момент инерции фигуры будет наименьшим относительно большой оси эллипса инерции и наибольшим относительно малой оси этого эллипса.