§ 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки

Так как решения большинства дифференциальных уравнений и систем уравнений не выражаются через элементарные функции или квадратуры, то в этих случаях при решении конкретных дифференциальных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Понятие об этих методах было дано в § 3; кроме того, некоторые из этих методов будут рассмотрены в §§ 32—34, а также в главе XVI.

Недостаток этих методов заключается в том, что они дают только одно частное решение; чтобы получить другие частные решения, нужно все вычисления проводить снова. Зная одно частное решение, нельзя сделать заключение о характере других решений.

Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функция и т. д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения или об устойчивости движения; этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А. М. Ляпуновым (1857—1918).

Пусть дана система дифференциальных уравнений

Пусть — решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям

Пусть далее, решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям

Определение. Решения удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям , называются устойчивыми по Ляпунову при если для каждого как угодно малого можно указать такое, что при всех значениях будут выполняться неравенства

если начальные данные удовлетворяют неравенствам

Выясним смысл этого определения. Из неравенств (2) и (3) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях t. Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.

Разберем это на примере одного уравнения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение

Общим решением этого уравнения является функция

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Очевидно, что это решение получится при (рис. 281). Найдем, далее, частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Найдем значение С из уравнения (6):

откуда

Подставляя это значение С в равенство (6), получаем

Очевидно, решение является устойчивым. Действительно,

Рис. 281.

Следовательно, при произвольном будет выполняться неравенство (3), если будет выполняться неравенство

Если уравнения (1) описывают движение, где аргумент t есть время, и при этом уравнения не содержат явно времени t, т. е. имеют вид

то эта система называется автономной.

Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений

Будем предполагать, что коэффициенты а, b, с, g постоянные, при этом очевидно, что х = 0, у = 0 есть решение системы (4), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение х = 0, у = 0 было устойчиво. Эта исследование проводится так.

Дифференцируем первое уравнение и исключаем у и на основании уравнений системы:

или

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид

Это уравнение принято записывать в виде определителя

(см. уравнение (4) § 30).

Обозначим корни характеристического уравнения (7) через и . Как мы увидим ниже, устойчивость или неустойчивость решений системы (4) определяется характером корней . Рассмотрим все возможные случаи,

I. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные: Из уравнения (5) находим

Зная из первого уравнения (4) находим у. Таким образом, решение системы (4) имеет вид

Замечание. Если , то уравнение (5) мы составим для функции у. Найдя у, из второго уравнения системы (4) находим х. Структура решений (8) сохранится. Если же , то решение системы уравнений принимает вид:

Анализ характера решений в этом случае производится проще.

Подберем так, чтобы решения (8) удовлетворяли начальным условиям

Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет

Из последних равенств следует, что при любом можно выбирать столь малыми, что для всех будет так как

Отметим, что в данном случае

Рассмотрим плоскость Для системы дифференциальных уравнений (4) и дифференциального уравнения (5) эта плоскость называется фазовой плоскостью. Решения (8) и (9) системы (4) будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости

Эти кривые являются интегральными кривыми, или траекториями дифференциального уравнения

которое получается из системы (4) путем деления друг на друга правых и левых частей.

Начало координат является особой точкой для дифференциального уравнения (13), так как эта точка не принадлежит к области существования и единственности решения.

Характер решений (9) и вообще решений системы (4) наглядно иллюстрируется расположением интегральных кривых

образующих общий интеграл дифференциального уравнения (13). Постоянная С определяется из начального условия . После подстановки значения С получаем уравнение семейства в форме

В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом. Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно приближается к особой точке при

Очевидно, что соотношение (14) может быть получено путем исключения параметра t из системы (12). Не производя в дальнейшем полного анализа характера расположения интегральных кривых вблизи особой точки на фазовой плоскости при всех возможных случаях корней характеристического уравнения, ограничимся иллюстрацией этого на простейших примерах, не требующих проведения громоздких вычислений. Отметим, что характер поведения траекторий уравнения (13) вблизи начала координат при произвольных коэффициентах качественно такой же, какой будет рассмотрен в примерах.

Пример 1. Исследовать устойчивость решения системы уравнений

Решение. Характеристическое уравнение будет

Корни характеристического уравнения

Решения (8) в данном случае будут

Решения (9) будут

Очевидно, что при Решение устойчиво. Обратимся теперь к фазовой плоскости. Исключая параметр t из уравнений (а), получаем уравнение вида (14)

Это семейство парабол (рис. 282).

Рис. 282.

Уравнение вида (13) для данного примера будет

Интегрируя, получаем Определим С из условия

Подставляя найденное значение в (в), получаем решение (б). Особая точка есть устойчивый узел.

II. Корни характеристического у равнения действительные, положительные, различные: , В этом случае решения выражаются также формулами (8) и соответственно (9). Но в данном случае при как угодно малых будет при так как при . На фазовой плоскости особая точка — неустойчивый узел: при точка на траектории удаляется от точки покоя

Пример 2. Исследовать устойчивость решений системы

Решение. Характеристическое уравнение будет

его решения

Решение будет

Решение неустойчиво, так как при Исключая t, получаем

(рис. 283). Особая точка есть неустойчивый узел.

Рис. 283,

Рис. 284.

III. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например, . Из формул (9) следует, что при как угодно малых если , будет при . Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом.

Пример 3. Исследовать устойчивость решения системы

Решение. Характеристическое уравнение будет

следовательно, . Решение будет

Решение неустойчиво. Исключая параметр t, получаем семейство кривых на фазовой плоскости

Особая точка есть седло (рис. 284).

IV. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью: . Решение системы (4)

будет

Если ввести обозначение

то уравнения (15) можно переписать в виде ,

где - произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий при причем

откуда находим

Снова заметим, что если то вид решения будет несколько иной, но характер анализа не изменится.

Очевидно, что при любом при достаточно малых будут выполняться соотношения

Решение устойчиво. В данном случае при

неограниченное число раз меняя знаки. На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом.

Пример 4. Исследовать устойчивость решения системы уравнений

Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

Находим по формулам Подставляя в (15), получаем

Очевидно, что при любых значениях

При имеем . Решение устойчиво.

Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости в этом случае. Преобразуем выражения (А). Пусть

Тогда равенства (А) примут вид

На фазовой плоскости перейдем к полярным координатам и установим зависимость Уравнения (В) принимают вид

Возведя в квадрат правые и левые части и складывая, получим

или

Установим зависимость t от 0. Деля члены нижнего из равенств (С) на соответствующие члены верхнего равенства, получим

откуда

Подставляя в (D), получаем

или

Обозначая окончательно получаем

Это семейство логарифмических спиралей. В этом случае при точка по траектории приближается к началу координат. Особая точка есть устойчивый фокус.

V. Корни характеристического уравнения комплексные с положительной действительной частью: . В этом случае решение также выразится формулами (15), где При любых начальных условиях и при величины могут принимать как угодно большие значения, решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат.

Пример 5. Исследовать устойчивость решения системы уравнений

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Решение (15) с учетом (17) в данном случае будет

На фазовой плоскости получим кривую в полярных координатах

Особая точка — неустойчивый фокус (рис. 285).

Рис. 285.

Рис. 286.

VI. Корни характеристического уравнения чисто мнимые: . Решения (15) в этом случае примут вид

Постоянные Q и определяются по формулам (17):

Очевидно, что при любом и при всех достаточно малых будет при любом t. Решение устойчиво. Здесь х и у — периодические функции от t.

Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости, целесообразно первое из решений (1-8) записать в следующем виде (см. (16)):

где — произвольные постоянные. Из выражений (20) следует, что х и у — периодические функции от t. Исключаем параметр t из уравнений (20):

Освобождаясь от радикала, получим

Это семейство кривых порядка (кривые действительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая из них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром (рис. 286).

Пример 6. Исследовать устойчивость решения системы уравнений

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Решения (20) будут

Уравнение (21) будет иметь вид

На фазовой плоскости имеем систему эллипсов. Особая точка — центр.

VII. Пусть Решение (8) в этом случае принимает вид

Очевидно, что при любом и при достаточно малых будет при . Следовательно, решение устойчиво.

Пример 7. Исследовать устойчивость решения системы

Решение. Находим корни характеристического уравнения;

Здесь Решения находим непосредственно, решая систему, не пользуясь формулами (22):

Решение, удовлетворяющее начальным условиям при будет

Очевидно, что решение устойчиво. Дифференциальное уравнение на фазовой плоскости будет Общий интеграл будет . Траектории — прямые,

параллельные оси Оу. Из уравнений следует, что точки по траекториям приближаются к прямой у = 0 (рис. 287).

VIII. Пусть . Из формул (22) или (8) следует, что решение неустойчиво, так как при

Пусть Решение будет

Так как при , то для любого е>0 можно подобрать такие (путем выбора что будет при любом

Рис. 287.

Рис. 288.

Следовательно, решение устойчиво. При этом при

Пример 8. Исследовать устойчивость решения системы

Решение. Находим корни характеристического уравнения;

Здесь Решение системы будет иметь форму (8):

причем при Решение устойчиво. Семейство кривых на фазовой плоскости будет

т.е.

Это семейство прямых, проходящих через начало координат. Точки по траекториям приближаются к началу координат. Особая точка есть узел (рис. 288).

Заметим, что в случае форма решения (22) сохраняется, но при

Решение неустойчиво.

X. Пусть . Тогда

Откуда видно, что при . Решение неустойчиво.

Пример 9. Исследовать устойчивость решения системы уравнений

Решение. Находим корни характеристического уравнения:

Находим решения

Очевидно, что Решение неустойчиво. Уравнение на фазовой плоскости будет

Рис. 289.

Рис. 290.

Траектории прямые, параллельные оси (рис. 289). Особая точка называется вырожденным седлом.

Чтобы дать общий критерий устойчивости решения системы (4), поступим следующим образом.

Запишем корни характеристического уравнения в форме комплексных чисел:

(в случае действительных корней ).

Возьмем плоскость комплексной переменной и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев условие устойчивости решения системы (4) можно сформулировать следующим образом.

Если ни один из корней , характеристического уравнения (6) не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво (рис. 290).

Рассмотрим теперь более общую систему уравнений

Решение такой системы, кроме исключительных случаев, не выражается через элементарные функции и квадратуры.

Для того чтобы установить, устойчивы или неустойчивы решения этой системы, ее сравнивают о решениями линейной системы. Предположим, что при функции также стремятся к нулю и притом быстрее, чем , где иными словами,

Тогда можно доказать, что, кроме исключительного случая, решение системы (25) будет устойчиво тогда, когда устойчиво решение системы

и неустойчиво, когда решение системы (4) неустойчиво. Исключение составляет тот случай, когда оба корня характеристического уравнения лежат на мнимой оси; в этом случае вопрос об устойчивости или неустойчивости решения системы (25) решается значительно сложнее.

А. М. Ляпунов исследовал вопрос об устойчивости решений систем уравнений при довольно общих предположениях относительно вида этих уравнений.

В теории колебаний часто рассматривают уравнение

Обозначим

Фазовой плоскостью для этой системы будет плоскость Траектории на фазовой плоскости дают геометрическое изображение зависимости скорости v от координаты х и наглядно качественно характеризуют изменение х и v. Если точка является особой точкой, то она определяет положение равновесия.

Так, например, если особая точка системы уравнений есть центр, т. е. траектории на фазовой плоскости представляют собой замкнутые линии, окружающие начало координат, то движения, определяемые уравнением незатухающие колебательные движения. Если особая точка фазовой плоскости есть фокус (при этом при то движения, определяемые уравнением затухающие колебания. Если особая точка есть узел или седло (и это единственная особая точка), то при . В этом случае движущаяся материальная точка уходит в бесконечность.

Если уравнение (26) линейное вида то система имеет вид

Это система вида (4). Точка есть особая точка, она определяет положение равновесия. Отметим, что переменная не обязательно механическое перемещение точки. Она может иметь различный физический смысл, например, обозначать величину, характеризующую электрические колебания.