§ 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
Изучение различных явлений показывает, что многие случайные величины, например, такие, как погрешности при измерениях, боковое отклонение и отклонение по дальности точки попадания от некоторого центра при стрельбе, величина износа деталей во многих механизмах и т. д., имеют плотность распределения вероятности, выражающуюся формулой
Рис. 429.
В этом случае говорят, что случайная величина подчинена нормальному закону распределения (это распределение также называют законом Гаусса). Кривая нормального распределения изображена на рис. 429. Таблица значений функции (1) при 
помещена в конце книги (см. табл. 2). Аналогичная кривая подробно исследована в § 9 гл. V т. I.
Покажем сначала, что плотность распределения (1) удовлетворяет основному соотношению (5) § 12:
Действительно, вводя обозначение
можем написать
так как
Определим математическое ожидание случайной величины с нормальным законом распределения (1). По формуле (1) § 14 имеем
Сделав замену переменной
получаем
Следовательно,
Первый интегралсправа равен 
Вычислим второй интеграл:
Итак,
Значение параметра а в формуле (1) равно математическому ожиданию рассматриваемой случайной величины. Точка 
является центром распределения вероятностей, или центром рассеивания. При 
функция 
имеет наибольшее значение, поэтому значение 
а является модой случайной величины.
Рис. 430.
Так как кривая (1) симметрична относительно прямой 
то
т. е. значение 
является медианой нормального распределения. Если в формуле (1) положим 
, то получим
Соответствующая кривая симметрична относительно оси Оу. Функция f(x) есть плотность нормального распределения случайной величины с центром распределения вероятностей, совпадающим с началом координат (рис. 430). Числовые характеристики
случайных величин с законами распределения (1) и (4), определяющие характер рассеивания значений случайной величины относительно центра рассеивания, определяются формой кривой, которая не зависит от величины а, и поэтому совпадают. Величина а определяет величину сдвига кривой (1) вправо (при а > 0) или влево (при а < 0). Для некоторого сокращения письма мы будем проводить/многие дальнейшие рассуждения применительно к плотности распределения, определяемой формулой (4).
