§ 2. Вычисление криволинейного интеграла

В этом параграфе мы уточним понятие предела суммы (1) § 1 и в связи с этим уточним понятие криволинейного интеграла и укажем способ его вычисления.

Пусть кривая L задана уравнениями в. параметрической форме

Рассмотрим дугу MN этой кривой . Пусть точкам М и N соответствуют значения параметра . Разделим дугу MN на части точками при этом положим

Рис. 344

Рассмотрим криволинейный интеграл

определенный в предыдущем параграфе. Приведем без доказательства теорему существования криволинейного интеграла. Если функции непрерывны и имеют непрерывные производные также непрерывны функции как функции t на отрезке , то существуют пределы

где - координаты некоторой точки, лежащей на дуге Эти пределы не зависят от способа деления дуги L на частичные дуги при условии, что не зависят от выбора точки на дуге они называются криволинейными

интегралами и обозначаются так:

Замечание. Из теоремы следует, что к тому же пределу — криволинейному интегралу — стремятся суммы, определенные в предыдущем параграфе, где точки являются концами дуги а система разбиения дуги L на части любая.

Сформулированная теорема дает возможность получить способ вычисления криволинейного интеграла.

Итак, по определению имеем

где

Преобразуем последнюю разнбсть по формуле Лагранжа:

где - некоторое значение , заключенное между значениями как точку на дуге можно выбирать произвольно, то выберем ее так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра

Подставляя найденные значения в формулу (3), получим

Справа стоит предел интегральной суммы для непрерывной функции одной переменной на отрезке .

Следовательно, этот предел равняется определенному интегралу от этой функции;

Аналогично получается формула

Складывая почленно эти равенства, получим (1V)

Это и есть искомая формула для вычисления криволинейного интеграла.

Аналогичным образом вычисляется криволинейный интеграл

по пространственной кривой, заданной уравнениями

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл от тройки функций (или, что то же, от векторной функции ) вдоль отрезка прямой, идущего от точки до точки

Решение.

Рис. 345,

Рис. 346.

Для того чтобы найти параметрические уравнения линии MN, вдоль которой надлежит интегрировать, напишем уравнение прямой, проходящей чеез две точки:

обозначив все эти отношения одной буквой t, получим уравнения прямой в параметрическом виде:

При этом началу отрезка соответствует, очевидно, значение параметра , а концу отрезка — значение Производные от х, у, z по параметру t (которые понадобятся при вычислении криволинейного интеграла) находятся легко;

Теперь искомый криволинейный интеграл можно вычислить с помощью формулы (4):

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл от пары функций вдоль плоской кривой отточки до точки N (2; 8) (рис. 346). Решение, Для вычисления искомого интеграла

надо иметь параметрические уравнения данной кривой. Однако заданное явно уравнение кривой является частным случаем параметрического: здесь параметром служит абсцисса точки кривой, и параметрические уравнения кривой таковы:

Параметр меняется от до Производные по параметру легко вычислить:

Следовательно,

Укажем теперь на некоторые приложения криволинейного интеграла.

1. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл. Пусть в плоскости Оху дана такая ограниченная контуром L область D, что всякая прямая, параллельная той или иной из координатных осей и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу L области не более чем в двух точках (т. е. область D правильная) (рис. 347).

Предположим, что на ось Ох область D проектируется в отрезок причем снизу она ограничивается кривой

а сверху - кривой

Тогда площадь области D равна

Но первый интеграл есть криволинейный интеграл по кривой так как есть, уравнение этой кривой; следовательно,

Второй интеграл есть криволинейный интеграл по кривой , т. е.

На основании свойства 1 криволинейного интеграла имеем

Следовательно,

При этом кривая L обходится в направлении против часовой стрелки.

Рис. 347,

Рис. 348.

Если часть границы L составляет отрезок параллельный оси Оу, то и равенство (5) остается справедливым и в этом случае (рис. 348).

Аналогично можно показать, что

Складывая почленно равенства (5) и (6) и деля на 2, получим еще одну формулу для вычисления площади S:

Пр и мер 3. Вычислить площадь эллипса Решение. По формуле (7) находим:

Отметим, что формула (7), а также формулы (5) и (6) справедливы и для площадей, границы которых пересекаются линиями, параллельными координатным осям, более чем в двух точках (рис. 349).

Рис. 349.

Рис. 350.

Для доказательства этого разобьем данную область (рис. 349) с помощью линии I на две правильные области. Для каждой из них справедлива формула (7). Складывая левые и правые части, получим слева площадь данной области, справа — криволинейный интеграл (с коэффициентом 1/2), взятый по всей границе, так как криволинейный интеграл по линии раздела берется дважды — в прямом и обратном направлениях и, следовательно, равен нулю.

2. Задача о вычислении работы переменной силы F на некотором криволинейном пути L. Как было показано в начале § 1, работа, совершенная силой к вдоль линии , равна криволинейному интегралу:

Рассмотрим пример, показывающий, как производится вычисление работы силы в конкретных случаях.

Пример 4. Определить работу А силы тяжести F при перемещении массы из точки в точку по произвольному пути L (рис. 350).

Решение. Проекции силы тяжести F на оси координат равны

Следовательно, искомая работа

Следовательно, в этом случае криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек. Точнее, работа тяжести зависит только от разности высот конечной и начальной точек пути.