Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Упражнения к главе XIIIПоказать, что указанные функции, зависящие от произвольных постоянных, удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:
Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Задачи на составление дифференциальных уравнений25. Доказать, что кривая, у которой угловой коэффициент касательной в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола. Отв. 26. Найти такую кривую, проходящую через точку (0; —2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы, Отвш 27. Найти такую кривую, проходящую через точку (1; 1), чтобы угловой коэффициент касательной к кривой в любой точке был пропорционален квадрату ординаты этой точки. Отв. 28. Найти такую кривую, для которой угловой коэффициент касательной в любой точке в 29. Через точку (2; 1) провести кривую, для которой касательная в любой точке совпадает с направлением радиус-вектора, проведенного из начала координат в ту же точку. Отв. 30. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла между радиус-вектором и касательной равен обратной величине радиус-вектора, взятой с обратным знаком. Отв. 31. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла, образуемого радиус-вектором с касательной, равен квадрату радиус-вектора. Отв. 32. Доказать, что кривая, обладающая тем свойством, что все ее нормали проходят через постоянную точку, есть окружность. 33. Найти такую кривую, чтобы в каждой ее точке длина подкасательной равнялась удвоенной абсциссе. Отв. 34. Найти кривую, для которой радиус-вектор равен длине касательной между точкой касания и осью Решение. По условиям задачи 35. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20° С и тело в течение 20 мин охлаждается со 100° до 60° С, то через сколько времени его температура понизится до 30° С? Решение. Дифференциальное уравнение задачи 36. В какое время Т вода вытечет через отверстие Решение. Подсчитаем двумя способами объем воды, вытекшей за время между моментами С другой стороны, вследствие утечки высота воды получает отрицательное «приращение»
Таким образом,
отсюда
Полагая 37. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения со. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении 1 мин вращается со скоростью 60 об/мин Отв. 38. Допустим, что в вертикальном воздушном столбе давление на каждом уровне обусловлено давлением вышележащих слоев. Найти зависимость давления от высоты, если известно, что на уровне моря это давление равно 10 Н на Указание. Воспользоваться законом Бойля—Мариотта, в силу которого плотность газа пропорциональна давлению. Дифференциальное уравнение задачи Проинтегрировать следующие однородные дифференциальные уравнения:
Проинтегрировать дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
51. Определить кривую, поднормаль которой есть среднее арифметическое между абсциссой и ординатой. Отв. 52. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси Решение По условиям задачи 53. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого нормалью на оси Ох, к радиус-вектору равно постоянной величине, Решение. По условию задачи 54. Определить кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси Оу, равен Решение. Так как 55. Определить кривую, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью, проведенной в какой-нибудь точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат. Решение. Отрезок, отсекаемый нормалью на оси 56. Найти форму зеркала, которое все лучи, выходящие из одной и той же точки О, отражало бы параллельно данному направлению. Решение. За ось Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения:
Проинтегрировать уравнения Бернулли:
Проинтегрировать следующие уравнения в полных дифференциалах:
81. Определить кривую, обладающую тем свойством, что произведение квадрата расстояния любой ее точки от начала координат на отрезок, отсекаемый на оси абсцисс нормалью в этой точке, равно кубу абсциссы этой точки. Отв. 82. Найти огибающую следующих семейств линий:
83. Прямая перемещается так, что сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, сохраняет постоянную величину а. Составить уравненне огибающей всех положений прямой. Отв. 84. Найти огибающую семейства прямых, на которых оси координат отсекают отрезок постоянной длины а. Отв. 85. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат удвоенные ординаты параболы 86. Найти огибающую семейства окружностей, центры которых лежат на параболе 87. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат перпендикулярные к оси 88. Найти эволюту эллипса Проинтегрировать следующие уравнения (уравнения Лагранжа):
Проинтегрировать данные уравнения Клеро:
99. Площадь треугольника, образованного касательной к искомой кривой и осями координат, есть величина постоянная. Найти кривую. Отв. Равнобокая гипербола 100. Найти такую кривую, чтобы отрезок ее касательной между координатными осями имел постоянную длину а. Отв. 101. Найти кривую, касательные к которой образуют на осях отрезки, сумма которых равна 2а. Отв. 102. Найти кривые, для которых произведение расстояния любой касательной до двух данных точек постоянно. Отв. Эллипсы и гиперболы» (Ортогональные и изогональные траектории.) 103. Найти ортогональные траектории семейства кривых 104. Найти ортогональные траектории семейства парабол 105. Найти ортогональные траектории семейства кривых 106. Найти ортогональные траектории семейства окружностей 107. Найти ортогональные траектории равных парабол, касающихся в вершине данной прямой Отв. Если 108. Найти ортогональные траектории циссоид 109. Найти ортогональные траектории лемнискат 110. Найти изогональные траектории семейства кривых Решение. Находим дифференциальное уравнение семейства 111. Найти изогональные траектории семейства парабол 112. Найти изогональные траектории семейства прямых 113. 114. Написать дифференциальное уравнение всех окружностей, лежащих в одной плоскости. Отв. 115. Написать дифференциальное уравнение всех центральных кривых второго порядка, главные оси которых совпадают с осями 116. Даны дифференциальное уравнение Требуется: 1) проверить, что данное семейство кривых действительно является общим решением; 2) найти частное решение, если при 117. Даны дифференциальное уравнение и его общее решение Требуется: 1) проверить, что данное семейство кривых действительно является общим решением; 2) найти интегральную кривую, проходящую через точку (1; 2), если касательная в этой точке составляет с положительным направлением оси О угол 45°. Отв. Проинтегрировать некоторые простейшие типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка.
В примерах 122—125 выделить частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:
Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
138. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти движение, которое получит один груз, если другой оборвется. Отв. 139. Материальная точка массы m притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Множитель пропорциональности равен к. Расстояние между центрами равно
147. Проинтегрировать следующие неоднородные линейные дифференциальные уравнения (найти общее решение):
161. Найти интегральную кривую уравнения 162. Найти решение уравнения 163. Найти решение уравнения 164. Груз массой 4 кг привешен к пружине и увеличивает ее длину на 1 см. Найти закон движения этого груза, полагая, что верхний конец пружины совершает гармоническое колебание, закон которого Решение. Обозначая через
где
так как первый член правой части уравнения входит в решение однородного уравнения. 165. В условиях задачи 139 начальная скорость равна Решение. Если начало координат взять в середине расстояния между центрами, то дифференциальные уравнения движения будут иметь следующий вид:
Интегрируя, находим
Отсюда 166. Горизонтальная трубка вращается около вертикальной оси с постоянной угловой скоростью 0). Шар, помещенный внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти закон движения шара, если в начальный момент он находится на оси вращения и имеет скорость Указание. Дифференциальное уравнение движения есть Применяя метод вариации произвольных постоянных, проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения:
Проинтегрировать следующие уравнения различных типовз
Проинтегрировать следующие системы уравнений: (см. скан)
Исследовать, является ли решение
194. Найти приближенные значения решения уравнения Найти приближенное значение решения уравнения
удовлетворяющего начальному условию 196. Найти приближенные значения и
удовлетворяющих начальным условиям
|
1 |
Оглавление
|