Упражнения к главе XIII

Показать, что указанные функции, зависящие от произвольных постоянных, удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Задачи на составление дифференциальных уравнений

25. Доказать, что кривая, у которой угловой коэффициент касательной в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола. Отв.

26. Найти такую кривую, проходящую через точку (0; —2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы, Отвш

27. Найти такую кривую, проходящую через точку (1; 1), чтобы угловой коэффициент касательной к кривой в любой точке был пропорционален квадрату ординаты этой точки. Отв.

28. Найти такую кривую, для которой угловой коэффициент касательной в любой точке в раз более углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Отв.

29. Через точку (2; 1) провести кривую, для которой касательная в любой точке совпадает с направлением радиус-вектора, проведенного из начала координат в ту же точку. Отв.

30. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла между радиус-вектором и касательной равен обратной величине радиус-вектора, взятой с обратным знаком. Отв.

31. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла, образуемого радиус-вектором с касательной, равен квадрату радиус-вектора. Отв.

32. Доказать, что кривая, обладающая тем свойством, что все ее нормали проходят через постоянную точку, есть окружность.

33. Найти такую кривую, чтобы в каждой ее точке длина подкасательной равнялась удвоенной абсциссе. Отв.

34. Найти кривую, для которой радиус-вектор равен длине касательной между точкой касания и осью

Решение. По условиям задачи откуда Интегрируя, получаем два семейства кривых

35. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20° С и тело в течение 20 мин охлаждается со 100° до 60° С, то через сколько времени его температура понизится до 30° С?

Решение. Дифференциальное уравнение задачи Интегрируя, находим при при поэтому следовательно, Полагая , найдем мин.

36. В какое время Т вода вытечет через отверстие на дне конической воронки высотой 10 см с углом при вершине

Решение. Подсчитаем двумя способами объем воды, вытекшей за время между моментами При постоянной скорости у за 1 с через отверстие вытекает цилиндр воды с основанием и высотой а, а за время вытекает объем воды равный

С другой стороны, вследствие утечки высота воды получает отрицательное «приращение» и дифференциал объема вытекшей воды равен

Таким образом,

отсюда

Полагая получаем время истечения

37. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения со. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении 1 мин вращается со скоростью 60 об/мин Отв. об/мин.

38. Допустим, что в вертикальном воздушном столбе давление на каждом уровне обусловлено давлением вышележащих слоев. Найти зависимость давления от высоты, если известно, что на уровне моря это давление равно 10 Н на а на высоте оно равно 9,2 Н на

Указание. Воспользоваться законом Бойля—Мариотта, в силу которого плотность газа пропорциональна давлению. Дифференциальное уравнение задачи откуда Отв.

Проинтегрировать следующие однородные дифференциальные уравнения:

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

51. Определить кривую, поднормаль которой есть среднее арифметическое между абсциссой и ординатой. Отв.

52. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси к радиус-вектору равно постоянной величине

Решение По условиям задачи откуда

53. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого нормалью на оси Ох, к радиус-вектору равно постоянной величине,

Решение. По условию задачи откуда

54. Определить кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси Оу, равен где - угол между радиус-вектором и осью

Решение. Так как по условию задачи то получаем откуда

55. Определить кривую, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью, проведенной в какой-нибудь точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат.

Решение. Отрезок, отсекаемый нормалью на оси равен поэтому по условию задачи имеем откуда

56. Найти форму зеркала, которое все лучи, выходящие из одной и той же точки О, отражало бы параллельно данному направлению.

Решение. За ось принимаем данное направление, точку О за начало координат. Пусть ОМ — падающий луч, МР — отраженный, MQ — нормаль к искомой кривой: откуда интегрируя, имеем

Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения:

Проинтегрировать уравнения Бернулли:

Проинтегрировать следующие уравнения в полных дифференциалах:

81. Определить кривую, обладающую тем свойством, что произведение квадрата расстояния любой ее точки от начала координат на отрезок, отсекаемый на оси абсцисс нормалью в этой точке, равно кубу абсциссы этой точки. Отв.

82. Найти огибающую следующих семейств линий:

83. Прямая перемещается так, что сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, сохраняет постоянную величину а. Составить уравненне огибающей всех положений прямой. Отв.

84. Найти огибающую семейства прямых, на которых оси координат отсекают отрезок постоянной длины а. Отв.

85. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат удвоенные ординаты параболы Отв.

86. Найти огибающую семейства окружностей, центры которых лежат на параболе причем все окружности семейства проходят через вершину этой параболы. Отв. Циссоида

87. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат перпендикулярные к оси хорды эллипса

88. Найти эволюту эллипса как огибающую его нормалей. Отв.

Проинтегрировать следующие уравнения (уравнения Лагранжа):

Проинтегрировать данные уравнения Клеро:

99. Площадь треугольника, образованного касательной к искомой кривой и осями координат, есть величина постоянная. Найти кривую. Отв. Равнобокая гипербола Кроме того, любая прямая семейства

100. Найти такую кривую, чтобы отрезок ее касательной между координатными осями имел постоянную длину а. Отв. Особое решение:

101. Найти кривую, касательные к которой образуют на осях отрезки, сумма которых равна 2а. Отв. решение:

102. Найти кривые, для которых произведение расстояния любой касательной до двух данных точек постоянно. Отв. Эллипсы и гиперболы» (Ортогональные и изогональные траектории.)

103. Найти ортогональные траектории семейства кривых Отв.

104. Найти ортогональные траектории семейства парабол параметр семейства). Отв.

105. Найти ортогональные траектории семейства кривых Отв.

106. Найти ортогональные траектории семейства окружностей Отв. Окружности:

107. Найти ортогональные траектории равных парабол, касающихся в вершине данной прямой Отв. Если -параметр парабол и данная прямая взята за ось Оу, то уравнение траектории будет

108. Найти ортогональные траектории циссоид Отв.

109. Найти ортогональные траектории лемнискат Отв.

110. Найти изогональные траектории семейства кривых где а — переменный параметр, если постоянный угол, который образуют траектории с линиями семейства, равен

Решение. Находим дифференциальное уравнение семейства и заменяем у выражением Если то а мы получаем дифференциальное уравнение Общий интеграл Дает искомое семейство траекторий.

111. Найти изогональные траектории семейства парабол когда

112. Найти изогональные траектории семейства прямых для случая Отв. Логарифмические спирали

113. Исключить Отв.

114. Написать дифференциальное уравнение всех окружностей, лежащих в одной плоскости. Отв.

115. Написать дифференциальное уравнение всех центральных кривых второго порядка, главные оси которых совпадают с осями Отв.

116. Даны дифференциальное уравнение и его общее решение

Требуется: 1) проверить, что данное семейство кривых действительно является общим решением; 2) найти частное решение, если при имеем Отв.

117. Даны дифференциальное уравнение и его общее решение

Требуется: 1) проверить, что данное семейство кривых действительно является общим решением; 2) найти интегральную кривую, проходящую через точку (1; 2), если касательная в этой точке составляет с положительным направлением оси О угол 45°. Отв.

Проинтегрировать некоторые простейшие типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка.

В примерах 122—125 выделить частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

138. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти движение, которое получит один груз, если другой оборвется. Отв. где а есть увеличение длины пружины под действием одного груза в состоянии покоя.

139. Материальная точка массы m притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Множитель пропорциональности равен к. Расстояние между центрами равно В начальный момент точка находится на линии соединения центров на расстоянии а от ее середины. Начальная скорость равна нулю. Найти закон движения точки. Отв.

147. . Найти общее решение и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при Отв. Общее решение: Частное решение:

Проинтегрировать следующие неоднородные линейные дифференциальные уравнения (найти общее решение):

161. Найти интегральную кривую уравнения проходящую через точку и касающуюся в точке М прямой Отв.

162. Найти решение уравнения удовлетворяющее условиям при Отв.

163. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям при Отв.

164. Груз массой 4 кг привешен к пружине и увеличивает ее длину на 1 см. Найти закон движения этого груза, полагая, что верхний конец пружины совершает гармоническое колебание, закон которого где у измеряется по вертикали.

Решение. Обозначая через вертикальную координату груза, считаемую от положения покоя, имеем

где длина пружины в свободном состоянии и как легко видеть из начальных условий. Отсюда Частный интеграл этого уравнения мы должны искать в виде

так как первый член правой части уравнения входит в решение однородного уравнения.

165. В условиях задачи 139 начальная скорость равна и направление перпендикулярно к прямой, соединяющей центры. Найти траектории.

Решение. Если начало координат взять в середине расстояния между центрами, то дифференциальные уравнения движения будут иметь следующий вид: Начальные данные при

Интегрируя, находим

Отсюда (эллипс).

166. Горизонтальная трубка вращается около вертикальной оси с постоянной угловой скоростью 0). Шар, помещенный внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти закон движения шара, если в начальный момент он находится на оси вращения и имеет скорость трубки).

Указание. Дифференциальное уравнение движения есть Начальные данные: при Интегрируя, находим

Применяя метод вариации произвольных постоянных, проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения:

Проинтегрировать следующие уравнения различных типовз

Проинтегрировать следующие системы уравнений:

(см. скан)

Исследовать, является ли решение устойчивым для следующих систем дифференциальных уравнений; Отв, Неустойчиво.

194. Найти приближенные значения решения уравнения удовлетворяющего начальному условию при Значения решения найти при значениях Отв.

Найти приближенное значение решения уравнения

удовлетворяющего начальному условию при Сравнить полученный результат с точным решением.

196. Найти приближенные значения и решений системы уравнений

удовлетворяющих начальным условиям при Сравнить полученные значения с точными.