§ 5. Признак Коши
Теорема (признак Коши). Если для ряда с положительными членами
величина
имеет конечный предел
при
т. е.
то:
1) в случае
ряд сходится;
2) в случае
ряд расходится.
Доказательство. 1) Пусть
Рассмотрим число
, удовлетворяющее соотношению
.
Начиная с некоторого номера
, будет иметь место соотношение
отсюда следует, что
или
Рассмотрим теперь два ряда:
Ряд (1) сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда (1), начиная с
меньше членов ряда (1). Следовательно, ряд (1) сходится.
2) Пусть
. Тогда, начиная с некоторого номера
будем иметь
или
Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с
больше 1, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение. Применим признак Коши:
Ряд сходится.
Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай
требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды. Так, для гармонического ряда (который, как известно, расходится)
Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что
Действительно,
Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Применяя правило Лопиталя, найдем:
Итак,
, но тогда
, т. е.
также имеет место равенство
но этот ряд сходится, так как если отбросим первый член, то члены оставшегося ряда будут меньше соответствующих членов сходящегося ряда
(см. пример 5 § 4).