§ 5. Признак Коши

Теорема (признак Коши). Если для ряда с положительными членами

величина имеет конечный предел при т. е.

то:

1) в случае ряд сходится;

2) в случае ряд расходится.

Доказательство. 1) Пусть Рассмотрим число , удовлетворяющее соотношению .

Начиная с некоторого номера , будет иметь место соотношение

отсюда следует, что

или

Рассмотрим теперь два ряда:

Ряд (1) сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда (1), начиная с меньше членов ряда (1). Следовательно, ряд (1) сходится.

2) Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера будем иметь

или

Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с больше 1, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Коши:

Ряд сходится.

Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай

требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды. Так, для гармонического ряда (который, как известно, расходится)

Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что

Действительно,

Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Применяя правило Лопиталя, найдем:

Итак, , но тогда , т. е.

также имеет место равенство

но этот ряд сходится, так как если отбросим первый член, то члены оставшегося ряда будут меньше соответствующих членов сходящегося ряда

(см. пример 5 § 4).