§ 3. Формула Грина

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости дана ограниченная замкнутым контуром правильная как в направлении оси так и в направлении оси Оу. Пусть эта область ограничена снйзу кривой а сверху кривой

В совокупности обе эти кривые составляют замкнутый контур L. Пусть в области D заданы непрерывные функции имеющие непрерывные частные производные. Рассмотрим интеграл

Представляя его в виде двукратного, получим:

Заметим, что интеграл

численно равен криволинейному интегралу

взятому по кривой MPN, уравнения которой в параметрической форме суть

где параметр.

Таким образом,

Аналогично интеграл

численно равен криволинейному интегралу по дуге

Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получим:

Но

(см. § 1, свойство 1). Следовательно, формулу (4) можно написать так:

Но сумма криволинейных интегралов, стоящих в правой части, равна криволинейному интегралу, взятому по всей замкнутой кривой L в направлении по часовой стрелке. Следовательно, последнее равенство можно привести к такому виду:

Если часть границы составляет отрезок , параллельный оси Оу, то

и равенство (5) остается справедливым и в этом случае. Аналогично найдем

Вычитая (5) из (6), получим

Если обход контура L совершается против часовой стрелки, то

Это и есть формула Грина, названная так по имени английского физика и математика Д. Грина (1793—1841).

Мы предполагали, что область D правильная. Но, как и в задаче о площади (см. § 2), можно показать, что эта формула справедлива для любой области, которую можно разбить на правильные области.