§ 24. Ряды с комплексными членами

Рассмотрим последовательность комплексных чисел

Определение 1. Комплексное число называется пределом последовательности комплексных чисел если

Напишем условие (1) в развернутом виде:

На основании равенства (2) следует, что условие (1) будет вылолняться только тогда, когда будут выполняться условия

Составим ряд из комплексных чисел

где

Рассмотрим сумму членов ряда (4), которую обозначим через

есть комплексное числа:

Определение 2. Если существует предел

то ряд (4) называется сходящимся рядом и s называется его суммой

На основании равенств (3) из условия (6) следуют равенства

Если не существует , то ряд (4) называется расходящимся.

Для исследования сходимости ряда (4) эффективной является следующая теорема.

Теорема 1. Если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда

то сходится ряд (4).

Доказательство. Из сходимости ряда и условий

следуют равенства (8) (на основании соответствующей теоремы об абсолютной сходимости рядов с действительными членами), а следовательно, равенство (7).

Доказанная теорема позволяет применять для исследования сходимости рядов с комплексными членами все достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами,