§ 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его следующим образом (предполагая, что

Считая у известной функцией от равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по найдем

Мы получили соотношение, связывающее решение у, независимую переменную и произвольную постоянную С, т. е. получили общий интеграл уравнения (1).

1. Дифференциальное уравнение типа

называют уравнением с разделенными переменными. Общий

интеграл его по доказанному есть

Пример 1. Дано уравнение с разделенными переменными Интегрируя, получим общийи интеграл: Так как левая часть последнего равенства неотрицательна, то и правая часть тоже неотрицательна. Обозначив через будем иметь Это — уравнение семейства концентрических окружностей (рис. 254) с центром в начале координат и радиусом С.

Рис. 254.

2. Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение .

или

т. е. к уравнению вида (2).

Пример 2. Дано уравнение . Разделяем переменные: Интегрируя, находим или отсюда получаем общее решение:

Пример 3. Дано уравнение . Разделяя переменные, находим Интегрируя, получаем или последнее соотношение есть общий интеграл данного уравнения.

Пример 4. Установлено, что скорость распада радия прямо пропорциональна его количеству в каждый данный момент. Определить закон изменения массы радия в зависимости от времени, если при масса радия была

Скорость распада определяется следующим образом. Пусть в момент t была масса , в момент — масса За время Д? распалась масса

Рис. 255.

Отношение есть средняя скорость распада. Предел этого отношения при

есть скорость распада радия в момент условию задачи

где k — коэффициент пропорциональности Мы ставим знак минус потому, что при увеличении времени масса радия убывает и, следовательно,

Уравнение (4) есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Решая уравнение, получим , откуда

Так как при масса радия была то С должно удовлетворять соотношению . Подставляя это значение С в равенство (5), получим искомую зависимость (рис. 255) массы радия как функцию времени;

Коэффициент k определяется из наблюдений следующим образом. Пусть за время (9 распадается а первоначальной массы радия. Следовательно, выполняется соотношение

откуда

или

Таким образом было определено, что для радия (единица измерения времени — год). Подставляя это значение к в формулу (6), получим

Найдем период полураспада радия, т. е. промежуток времени, за который распадается половина первоначальной - массы радия. Подставляя в последнюю формулу вместо значение получим откуда

, или

Заметим, что к уравнению вида (4) приводят и другие задачи физики и химии.

Замечание 1. Пусть функция входящая в уравнение (1), имеет корень Тогда, очевидно, функция есть решение уравнения (1), в чем легко убедится непосредственной подстановкой. Решение может и не получиться из формулы Мы будем проводить анализ этого случая, но отметим, что на прямой может нарушиться условие единственности.

Приведем пример. Уравнение имеет общее решение и решение которое не получается из общего решения. На прямой нарушается условие единственности. Замечание 2. Простейшим дифференциальным уравнением с разделенными переменными является уравнение вида или . Его общий интеграл имеет вид . Решением уравнений этого вида мы занимались в главе X.