Следовательно,
Приближенное значение работы А силы F на всей кривой MN будет
Не делая точных формулировок, укажем пока, что если существует предел выражения, стоящего в правой части равенства при 
(при этом, очевидно, 
), то этот предел выражает работу силы F по кривой L от точки М до точки 
Справа стоящий предел называют криволинейным интегралом от 
по кривой L и обозначают так:
или
Пределы сумм вида (2) часто встречаются в математике и механике, при этом 
рассматриваются как функции двух переменных в некоторой области 
Буквы М и N, стоящие вместо пределов интегрирования, заключены в скобки в знак того, что это не числа, а обозначения концов линии, по которой берется криволинейный интеграл. Направление по кривой L от точки М к точке N называется направлением интегрирования.
Если кривая L пространственная, то криволинейный интеграл от трех функций 
определяется аналогично:
Буква L, стоящая под знаком интеграла, указывает на то, что интегрирование совершается вдоль кривой 
Отметим два свойства криволинейного интеграла.
Свойство 1. Криволинейный интеграл определяется подынтегральным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования.
При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак, так как при этом вектор 
а следовательно, и его проекции 
меняют знаки.
Свойство 2. Разобьем кривую L точкой К на части 
так, что MN = MK + KN (рис. 343). Тогда из формулы (1) непосредственно следует
Это соотношение справедливо для любого числа слагаемых.
Отметим еще, что определение криволинейного интеграла остается в силе и в том случае, когда кривая L замкнута.
Рис. 343.
В этом случае начальная и конечная точки на кривой совпадают. Поэтому в случае замкнутой кривой мы не можем писать 
а только 
указывая при этом обязательно направление обхода по замкнутой кривой L. Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру L очень часто употребляется также символ
Замечание. Мы пришли к понятию криволинейного интеграла, рассматривая задачу о работе силы F на криволинейном пути 
В этом случае во всех точках кривой L была задана сила F как векторная функция F от координат точки приложения 
; проекции переменного вектора F на оси координат равны скалярным (т. е. числовым) функциям 
Поэтому криволинейный интеграл вида 
можно рассматривать как интеграл от векторной функции F, заданной проекциями X и Y. Интеграл от векторной функции 
кривой L обозначается символом
Если вектор F определяется своими проекциями X, У, Z, то этот интеграл равен криволинейному интегралу 
В частности, если вектор F лежит на плоскости 
то интеграл от этого вектора равен 
В тех случаях, когда криволинейный интеграл от векторной функции F берется по замкнутой кривой L, этот криволинейный интеграл называют также циркуляцией вектора F по замкнутому контуру L.
движется вдоль некоторой плоской линии L от точки М к точке N. К точке Р приложена сила F, которая меняется по величине и направлению при перемещении точки Р, т. е. представляет собой некоторую функцию координат точки Р:
из положения М в положение N (рис. 342).
кривую 
на 
произвольных частей точками 
в направлении от 
к N и обозначим через Дивектор 
Величину силы F в точке 
обозначим через 
Тогда 
можно рассматривать как приближенное выражение работы силы F вдоль дуги 
Обозначив через 
приращения координат 
при переходе от точки 
к точке 
получаем
