ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Криволинейный интеграл

Пусть точка движется вдоль некоторой плоской линии L от точки М к точке N. К точке Р приложена сила F, которая меняется по величине и направлению при перемещении точки Р, т. е. представляет собой некоторую функцию координат точки Р:

Вычислим работу А силы F при перемещении из положения М в положение N (рис. 342).

Рис. 342.

Для этого разобьем кривую на произвольных частей точками в направлении от к N и обозначим через Дивектор Величину силы F в точке обозначим через Тогда скалярное произведение можно рассматривать как приближенное выражение работы силы F вдоль дуги

Пусть

где Х(х, у) и Y (х, у) - проекции вектора F на оси Обозначив через приращения координат при переходе от точки к точке получаем

Следовательно,

Приближенное значение работы А силы F на всей кривой MN будет

Не делая точных формулировок, укажем пока, что если существует предел выражения, стоящего в правой части равенства при (при этом, очевидно, ), то этот предел выражает работу силы F по кривой L от точки М до точки

Справа стоящий предел называют криволинейным интегралом от по кривой L и обозначают так:

или

Пределы сумм вида (2) часто встречаются в математике и механике, при этом рассматриваются как функции двух переменных в некоторой области

Буквы М и N, стоящие вместо пределов интегрирования, заключены в скобки в знак того, что это не числа, а обозначения концов линии, по которой берется криволинейный интеграл. Направление по кривой L от точки М к точке N называется направлением интегрирования.

Если кривая L пространственная, то криволинейный интеграл от трех функций определяется аналогично:

Буква L, стоящая под знаком интеграла, указывает на то, что интегрирование совершается вдоль кривой

Отметим два свойства криволинейного интеграла.

Свойство 1. Криволинейный интеграл определяется подынтегральным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования.

При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак, так как при этом вектор а следовательно, и его проекции меняют знаки.

Свойство 2. Разобьем кривую L точкой К на части так, что MN = MK + KN (рис. 343). Тогда из формулы (1) непосредственно следует

Это соотношение справедливо для любого числа слагаемых.

Отметим еще, что определение криволинейного интеграла остается в силе и в том случае, когда кривая L замкнута.

Рис. 343.

В этом случае начальная и конечная точки на кривой совпадают. Поэтому в случае замкнутой кривой мы не можем писать а только указывая при этом обязательно направление обхода по замкнутой кривой L. Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру L очень часто употребляется также символ

Замечание. Мы пришли к понятию криволинейного интеграла, рассматривая задачу о работе силы F на криволинейном пути

В этом случае во всех точках кривой L была задана сила F как векторная функция F от координат точки приложения ; проекции переменного вектора F на оси координат равны скалярным (т. е. числовым) функциям Поэтому криволинейный интеграл вида можно рассматривать как интеграл от векторной функции F, заданной проекциями X и Y. Интеграл от векторной функции кривой L обозначается символом

Если вектор F определяется своими проекциями X, У, Z, то этот интеграл равен криволинейному интегралу

В частности, если вектор F лежит на плоскости то интеграл от этого вектора равен

В тех случаях, когда криволинейный интеграл от векторной функции F берется по замкнутой кривой L, этот криволинейный интеграл называют также циркуляцией вектора F по замкнутому контуру L.