§ 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение 1. Бесконечная система функций
называется ортогональной на отрезке 
если при любых 
выполняется равенство
При этом предполагается, что
Пример I. Система функций
ортогональна на отрезке 
. Это следует из равенств (I) и (II) § 1 Пример 2. Система функций
ортогональна на отрезке 
в чем легко убедиться непосредственной проверкой.
Пример 3. Система функции
ортогональна на отрезке 
.
Пример 4. Система функций 
ортогональна на отрезке 
.
Ниже будут указаны другие системы ортогональных функций. Пусть функция 
определенная на отрезке 
такова, что она представляется рядом по функциям ортогональной
системы (1), который сходится к данной функции на 
Определим коэффициенты 
. Допустим, что ряд, полученный после умножения ряда (6) на любую 
допускает почленное интегрирование.
Умножим обе части равенства (6) на 
и проинтегрируем в пределах от а до b. Учитывая равенства (2), получим
откуда
Коэффициенты 
, вычисленные по формулам (7), называются Коэффициентами Фурье функции f(x) по системе ортогональных функций (1). Ряд (6) называется рядом Фурье по системе функций (1).
Определение 2. Ортогональная система функций
называется полной, если для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом, т. е. такой, что
выполняется равенство
Равенство (8) в силу определений § 7 можно истолковать и так.
Среднеквадратичное уклонение суммы 
от функции 
стремится к нулю при 
.
Если выполняется равенство (8), то говорят, что ряд Фурье (6) сходится к функции f(x) в среднем.
Очевидно, что из сходимости в среднем не следует сходимость в каждой точке отрезка 
Отметим без доказательства, что тригонометрические системы, указанные в примерах 1—4, полны на соответствующих отрезках.
Очень широко используется в приложениях система функций Бесселя
которые были рассмотрены в § 23 гл. XVI. Здесь 
- корни функции Бесселя, т. е. числа, удовлетворяющие соотношению
Без доказательства укажем, что система функций
ортогональна на отрезке [0, 1]:
Так же в приложениях используются системы ортогональных многочленов Лежандра, которые определяются так:
Они удовлетворяют уравнениям
Используются и другие системы ортогональных многочленов.
