§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение порядка

Будем предполагать, что — постоянные. Прежде чем указывать метод решения уравнения (1), введем определение, нужное нам для дальнейшего.

Определение 1. Если для всехх отрезка имеет место равенство

где - постоянные числа, не все равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции .

Определение 2. функций называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные.

Замечание 1. Из определений следует, что если функции линейно зависимы, то найдутся постоянные не все равные нулю, такие, что для всех отрезка будет выполняться тождество

Пример 1. Функции линейно зависимы, так как при имеет место тождество

Пример 2. Функции линейно независимы, так как ни при каких одновременно не равных нулю, выражение не будет тождественно равно нулю.

Пример 3. Функции , где - различные числа, линейно независимы. (Это утверждение мы приводим без доказательства.)

Перейдем теперь к решению уравнения (1). Для этого уравнения справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции являются линейно независимыми решениями уравнения (1), то его общее решение есть

где — произвольные постоянные.

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка.

1) Составляем характеристическое уравнение

2) Находим корни характеристического уравнения

По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:

а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение ;

б) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствуют два частных решения

в) каждому действительному корню k кратности соответствует линейно независимых частных решений

г) каждой паре комплексных сопряженных корней

кратности [г соответствуют частных решений

Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т. е. столько, каков порядок данного линейного дифференциального уравнения). Можно доказать, что эти решения линейно независимы.

4) Найдя линейно независимых частных решений строим общее решение данного линейного уравнения

где произвольные постоянные.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Находим корни характеристического уравнения:

Пишем общий интеграл

где - произвольные постоянные.

Замечание 2. Из изложенного следует, что вся трудность решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами заключается в решении характеристического уравнения.