§ 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах

Кроме математического ожидания случайной величины которое. определяет положение центра распределения вероятностей, количественной характеристикой распределения случайной величины является дисперсия случайной величины

Дисперсию будем обозначать D [х] или .

Слово «дисперсиям означает рассеивание. Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Определение 1. Дисперсией случайной величины называется матемйтическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.(т. е. математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной, случайной величины):

или

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Иногда, для характеристики рассеивания, удобнее пользоваться величиной, размерйость которой совпадает с размерностью случайной величины. Такая величина — среднеквадратичное отклонение.

Определение 2. Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

или в развернутом виде

Среднеквадратичное отклонение обозначают также

Замечание 1. При вычислении дисперсии формулу (1) бывает удобно преобразовать так:

Итак,

т. е. дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического ожидания случайной величины.

Пример 1. Производится один выстрел по объекту. Вероятность попадания . Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение. Строим таблицу значений числа попаданий

Следовательно,

Чтобы представить смысл понятия дисперсии и среднеквадратичного отклонения как характеристики рассеивания случайной величины, рассмотрим примеры.

Пример 2. Случайная величина задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 413):

Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадратичное отклонение.

Решение

Пример 3. Случайная величина задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 414):

Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадратичное отклонение.

Рис. 413,

Рис. 414

Решение.

Рассеивание, разброс случайной величины в первом примере меньше рассеивания случайной величины во втором примере (см. рис. 414 и 415). Дисперсии этих величин соответственно равны 0,6 и 2,4.

Пример 4; Случайная величина задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 415):

Рис. 415.

Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадратичное отклонение.

Решение.

Рассеивание значений этой случайной величины отсутствует.

Замечание 2. Если рассматривать постоянное число как случайную величину, которая принимает значение с с вероятностью 1, то легко показать, что

Доказательство. Было показано, что По формуле (1) получаем что и требовалось доказать.

Замечание 3. По аналогии с механической терминологией математическое ожидание величин называют центральным моментом первого и второго порядка случайной величины Рассматривают и центральный момент третьего порядка

Если случайная величина распределена симметрично относительно центра распределения вероятностей (рис. 411), то очевидно, что ее центральный момент третьего порядка будет равен нулю. Если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то случайная величина не может быть распределена симметрично.