§ 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения

Пусть

По формуле (5) § 23 (см. рис. 443) вероятность попадания случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми выражается так:

Представляя подынтегральную функцию в виде произведения двух функций, можем написать

и на основании формулы (6) § 19 окончательно получаем

Если в последней формуле положить т. е. рассматривать прямоугольник с центром в начале координат, то на основании формулы (7) § 19 формула (3) примет вид

Замечание. Задачу о вероятности попадания случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, можно было бы решать и так. Попадание в прямоугольник есть сложное событие, состоящее в совпадении двух независимых событий — попадания в полосу и попадания в полосу краткости рассматриваем прямоугольник с центром в начале координат.) Пусть плотность распределения случайной величины есть

Плотность распределения случайной величины у есть

Вычисляем вероятности попадания случайной величины в полосу и в полосу . По формуле (7) § 19 получаем

Вероятность сложного события — попадания в прямоугольник — будет равна произведению вероятностей:

Получили формулу (4).

Пример. Производится стрельба по площади прямоугольника со сторонами ограниченного линиями

Главные срединные отклонения соответственно равны Найти вероятность попадания в прямоугольник при одном выстреле (рис. 447).

Рис. 447.

Решение. В нашем случае Подставляем эти значения в формулу (4) и, пользуясь таблицей значения функции (см. табл. 1 в конце книги), находим