§ 13. Замена переменных в тройном интеграле

1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. В случае так называемых цилиндрических координат положение точки Р в пространстве определяется тремя числами , где — полярные координаты проекции точки Р на плоскость Оху — аппликата точки Р, т. е. расстояние точки до плоскости взятое со знаком плюс, если точка лежит выше плоскости и со знаком минус — если ниже (рис. 336).

Рис. 336.

Рис. 337.

В этом случае данную, пространственную область V разбиваем на элементарные объемы координатными поверхностями (полуплоскости, примыкающие к оси круговые цилиндры, ось которых совпадает с осью плоскости, перпендикулярные к оси . Элементарным объемом будет криволинейная «призма» (изображенная на рис. 337). Площадь основания этой призмы с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна высота равна для простоты записи опускаем). Следовательно, Поэтому тройной интеграл от функции по области V имеет вид

Пределы интегрирования определяются формой области V.

Если дан тройной интеграл от функции в прямоугольных координатах, то его легко преобразовать в тройной интеграл в цилиндрических координатах. В самом деле, заметив, что

получим

где

Пример Определить массу М полушара радиуса R с центром в начале координат, если плотность F его вещества в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от основания, т. е.

Решение. Уравнение верхней части полусферы

в цилиндрических координатах имеет вид

Следовательно,

2. Тройной интеграл в сферических координатах, В сферических координатах положение точки Р в пространстве определяется тремя числами где — расстояние точки от начала координат, так называемый радиус вектор точки, угол между радиус-вектором и осью между проекцией радиус-вектора на плоскость Оху и осью Ох, отсчитываемый от этой оси в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) (рис. 338). Для любой точки пространства имеем

Разобьем данную область V на элементарные частй координатными поверхностями поверхности с вершинами в начале координат), (полуплоскости, проходящие через ось точностью до бесконечно малых высшего порядка элементарный объем Ди можно считать параллелепипедом с ребрами длины Тогда элементарный объем равен (рис. 339)

Тройной интеграл от функции по области V имеет вид

Границы интегрирования определяются формой области V.

Из рис. 338 легко устанавливаются выражения декартовых

координат через сферические:

Поэтому формула преобразования тройного интеграла от декартовых координат к сферическим имеет вид

3. Общая замена переменных в тройном интеграле. Переходы от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим в тройном интеграле — это частные случаи общего преобразования координат в пространстве.

Рис. 338.

Рис. 339,

Пусть функции

взаимно однозначно отображают область V в декартовых координатах х, на область V в криволинейных координатах . Пусть элемент объема области V переходит в элемент области V и пусть

Тогда

Аналогично тому, как это имело место в двойном интеграле, I называется якобианом; подобно тому как это делалось для

двойных интегралов, можно доказать, что якобиан численно равен определителю третьего порядка:

Так, в случае цилиндрических координат имеем

В случае сферических координат