§ 15. Ряды по степеням x-a

Степенным рядом также называется функциональный ряд вида

где постоянные также называются коэффициентами ряда. Это — степенной ряд, расположенный по степеням двучлена

При а = 0 получаем степенной ряд, расположенный по степеням х, который, следовательно, является частным случаем ряда (1).

Для определения области сходимости ряда (1) произведем в,нем замену переменной

После этой замены ряд (1) примет вид

т. е. получили степенной ряд, расположенный по степеням X.

Пусть интервал есть интервал сходимости ряда (2) (рис. 369, а). Отсюда следует, что ряд (1) будет сходиться при значениях удовлетворяющих неравенству или

Рис. 369,

Рис. 370.

Так как ряд (2) расходится при то ряд (1) будет расходиться при , т. е. будет расходиться вне интервала

Следовательно, интервалом сходимости ряда (1) будет интервал с центром в точке а. Все свойства степенного ряда, расположенного по степеням внутри интервала сходимости полностью сохраняются для степенного ряда, расположенного по степеням внутри интервала сходимости . Так, например, после почленного интегрирования степенного ряда (1), если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости получается ряд, сумма которого равняется соответствующему интегралу от суммы данного ряда (1). При почленном дифференцировании степенного ряда (1) при всех лежащих внутри интервала сходимости получается ряд, сумма которого равняется производной от суммы данного ряда (1).

Пример. Найти область сходимости ряда

Решение. Положив получим ряд

Этот ряд сводится при . Следовательно, данный ряд сходится при всех для которых , т. е. при