§ 8. Изображение производных
Теорема. Если 
, то
Доказательство. На основании определения изображения можем написать
Будем предполагать, что все производные которые нам встретятся, удовлетворяют условию 
следовательно, интеграл (28) и аналогичные интегралы для последующих производных существуют. Вычисляя по частям интеграл, стоящий в правой части равенства (28), найдем
Но по условию (1)
а
Поэтому
Теорема доказана. Рассмотрим далее изображение производных любого порядка. Подставляя в формулу (27) вместо 
выражение 
, а вместо 
- выражение 
, получим
или, раскрывая скобки,
Изображение для производной 
порядка будет 
Замечание. Формулы (27), (29), (30) упрощаются, если 
. В этом случае получаем
