§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам - интегрирования уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться исковому частному решению.
Пусть, например, требуется найти решение дифференциального уравнения второго порядка
удовлетворяющее начальным условиям
Допустим, что решение 
существует и представимо в виде ряда Тейлора (мы не будем останавливаться на вопросе, при каких условиях это имеет место):
Нам нужно найти 
, т. е. значения производных от частного решения при 
Но это можно сделать при помощи уравнения (1) и условий (2).
Действительно, из условий (2) следует
из уравнения (1) получаем
Дифференцируя обе части уравнения (I) по 
и, подставляя значение 
в правую часть, найдем
Дифференцируя соотношение (4) еще раз, найдем
Найденные значения прризводных подставляем в равенство (3). Для тех значений 
для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.
Пример 1. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Имеем
Из данного уравнения находим 
далее,
и, вообще, дифференцируя k раз обе части уравнения по формуле Лейбница, находим (§ 22 гл. III т. I)
Положив 
будем иметь
или, полагая 
Отсюда
Кроме того,
Таким образом, в нуль не обращаются только те производные, порядок которых кратен четырем.
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем решение уравнения
С помощью признака Даламбера можно проверить, что этот ряд сходится при всех значениях 
следовательно, он является решением уравнения.
Если уравнение линейное, то удобнее искать коэффициенты разложения частного решения по методу неопределенных коэффициентов. Для этого непосредственно «подставляем» ряд
в дифференциальное, уравнение и приравниваем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях 
в разных частях уравнения
Пример 2. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Полагаем
На основавши начальных условий находим 
Следовательно,
Подставляя написанные выражения в заданное уравнение к приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
получаем
Следовательно
Подставляя найденные коэффициенты, получаем искомое решение
Полученный ряд сходится при всех значениях 
Заметим, что найденное частное, решение можно выразить через, элементарные функции: вынося 
за скобку, получим в скобках разложение функции 
Следовательно
