§ 13. Уравнение Клеро

Рассмотрим так называемое уравнение Клеро

Оно интегрируется с помощью введения вспомогательного параметра. Именно, положим тогда уравнение (1) примет вид

Продифференцируем по все члены последнего уравнения, имея в виду, что является функцией от х:

или

Приравнивая каждый множитель нулю, получим

и

1) Интегрируя равенство (2), получаем . Подставляя это значение в уравнение , найдем его общий интеграл

который с геометрической точки зрения представляет собой семейство прямых линий.

2) Если из уравнения (3) найдем как функцию от и подставим ее в уравнение , то получим функцию

которая, как легко показать, представляет собой решение уравнения (1).

В самом деле, в силу равенства (3) находим т. е. . Поэтому, подставляя функцию в уравнение (1), получаем тождество

Решение не получается из общего интеграла (4) ни при каком значении С. Это есть особое решение; оно получается в результате исключения параметра из уравнений

или, что все равно, исключением С из уравнений

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом (4).

Рис. 264.

Пример. Найти общий и особый интегралы уравнения

Решение. Общий интеграл получаем, заменяя -г на С:

Для получения особого решения дифференцируем последнее уравнение по С:

Особое решение уравнение огибающей) получается в параметрическом виде (где параметром служит С)

Исключив параметр С, можем получить непосредственную зависимость между х и у. Возводя обе части каждого уравнения в степень и складывая почленно полученные уравнения, найдем особое решение в следующем виде:

Это — астроида. Однако огибающей семейства (а следовательно, и особым решением) является не вся астроида, а только ее левая половина (так как из параметрических уравнений огибающей видно, что ) (рис. 264).