§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, при решении уравнений с частными производными методом конечных разностей производные заменяются соответствующими разностями (рис. 392):

или

аналогично

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности формулируется (см. § 4) следующим образом. Требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее краевым условиям

т. е. требуется найти решение и в прямоугольнике, ограниченном прямыми если заданы значения искомой функции на трех его сторонах Покроем нашу область сеткой, образованной прямыми

и будем определять приближенные значения рещения в узлах сетки, т. е. в точках пересечения этих прямых. Введем обозначения: Напишем вместо уравнения (4) соответствующее ему уравнение в конечных разностях, для точки

Рис. 392,

Рис. 393.

В соответствии с формулами (3) и (2) получим

Определим

Из формулы (9) следует, что если известны три значения в ряду: , то определяется значение ряду. Нам известны все значения на прямой t = 0 (см. формулу (5)). По формуле (9) мы определим значения во всех внутренних точках отрезка Значения в крайних точках этого отрезка нам известны в силу формул (6) и (7). Так ряд за рядом мы определим значения искомого решения во всех узлах сетки.

Можно доказать, что по формуле (9) можно получить приближенное значение решения не при произвольном соотношении шагов h и , а только в том случае, если . Формула (9) особенно упрощается, если шаг I по оси t выбрать так, чтобы было

В этом случае уравнение (Щ принимает вид

Эта формула особенно удобна для вычислений (рис. 394). Указанным методом определяется решение в узлах сетки. Значение решения между узлами сетки можно получить, например, экстраполированием, проводя плоскость через каждые три точки в пространстве и). Обозначим полученное по формуле (10) и экстраполированное таким образом решение через

Рис. 394.

Можно доказать, что

где и решение нашей задачи. Можно доказать также, что

где — постоянная, не зависящая от