Упражнения к главе XIV

Вычислить интегралы

Определить пределы интегрирования для интеграла где область интегрирования ограничена линиями:

Изменить порядок интегрирования в интегралах:

Вычислить следующие интегралы путем перехода к полярным координатам:

Преобразовать двойнце интегралы, введя новые переменные и , связанные, с х и у формулами

Вычисление площадей посредством двойного интеграла

24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой Отв. 2/3.

25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Отв.

26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Отв.

27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Отв. 2—1.

28. Вычислить площадь петли кривой Отв.

29. Вычислить всю площадь, ограниченную лемнискатой Отв.

30. Вычислить площадь петли кривой

Указание. Перейти к новым переменным Отв.

Вычисление объемов

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями

36. Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями, плоскостью и цилиндром Отв. 16.

37. Вычислить объем тела, ограниченного круговым цилиндром радиуса , ось которого совпадает с осью плоскостями координат и плоскостью Отв.

38. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами Отв.

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

42. . (Вычислить объем, внутренний по отношению к цилиндру.) Отв.

Вычисление площади поверхности

43. Вычислить площадь той части поверхности конуса которая высекается цилиндром Отв.

44. Вычислить площадь той части плоскости которая лежит в первом октанте - и ограничена цилиндром Отв. 3.

45. Вычислить площадь поверхности сферического сегмента (меньшего), если радиус сферы а, а радиус Основания сегмента b. Отв.

46. Найти площадь той части поверхности сферы которая вырезана поверхностью цилиндра Отв.

47. Найти площадь поверхности тела, являющегося общей частью двуя цилиндров Отв.

48. Вычислить площадь той части поверхности цилиндра которая содержится между плоскостью и конусом

49. Вычислить площадь той части поверхности цилиндра которая содержится между плоскостью и плоскостью

50 Вычислить площадь той части поверхности параболоида которая содержится между параболическим цилиндром и плоскостью а. Отв.

Вычисление массы, координат центра масс, момента инерции плоских фигур

(Всюду в задачах 51—62 и 64 считаем поверхностную плотность постоянной и равной единице.)

51. Определить массу пластинки, имеющей форму круга с радиусом , если плотность в любой точке Р обратно пропорциональна расстоянию точки Р от оси цилиндра (множитель пропорциональности равняется К). Отв.

52. Вычислить координаты центра масс равностороннего треугольника, принимая его высоту за ось а вершину треугольника за начало координат. Отв.

53. Найти координаты центра масс кругового сектора радиуса а, принимая биссектрису его угла за ось Угол раствора сектора

54. Найти координаты центра масс верхней половины круга Отв.

55. Найти координаты центра масс площади одной арки циклоиды Отв.

56. Найти координаты центра масс площади, ограниченной петлей кривой Отв.

57. Найти координаты центра масс площади кардиоиды Отв.

58. Вычислить момент инерции площади прямоугольника, ограниченного прямыми относительно начала координат. Отв.

59. Вычислить момент инерции эллипса относительно оси относительно начала координат. Отв.

60. Вычислить момент инерции площади круга относительно полюса. Отв.

61. Вычислить момент инерции площади кардиоиды относительно полюса. Отв.

62. Вычислить момент инерции площади круга относительно оси Оу. Отв.

63. Плотность в любой точке квадратной пластинки со стороной а пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата. Вычислить момент инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вершину. Отв. где множитель пропорциональности.

64. Вычислить момент инерции площади фигуры, ограниченной параболой и прямой относительно прямой Отв.

Тройные интегралы

65. Вычислить если область интегрирования ограничена координатными плоскостями и плоскостью Отв. Отв.

67. Вычислить объем тела, ограниченного сферой поверхностью параболоида Отв. .

68. Вычислить координаты центра масс и моменты инерции пирамиды, ограниченной плоскостями Отв.

Вычислить момент инерции кругового прямого конуса относительно его оси. Отв. где - высота, — радиус основания конуса.

70. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью с уравнением Отв.

71. Вычислить момент инерции круглого конуса относительно диаметра основания. Отв.

72. Вычислить координаты центра масс тела, содержащегося между сферой радиуса а и конической поверхностью с углом при вершине , если вершина конуса совпадает с центром сферы. Отв. (ось конуса принята за ось вершина помещена в начале координат).

73. Вычислить координаты центра масс тела, ограниченного сферой радиуса а и двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и образующими угол Отв. пересечения плоскостей принята за ось центр сферы — за начало координат; р, сферические координаты).

74. Пользуясь равенством вычислить интегралы .