§ 12. Вычисление тройного интеграла

Предположим, что пространственная (трехмерная) область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, обладает следующими свойствами:

1) всякая прямая, параллельная оси проведенная через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе S) точку области V, пересекает поверхность S в двух точках;

2) вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную (двумерную) область

Рис. 332.

Рис. 333.

3) всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей также обладает свойствами 1) и 2).

Область V, обладающую указанными свойствами, мы будем называть правильной трехмерной областью.

Правильными трехмерными областями являются, например, эллипсоид, прямоугольный параллелепипед, тетраэдр и т. д. Пример неправильной трехмерной области дан на рис. 332. В настоящем параграфе мы будем рассматривать только правильные области.

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение , а поверхность, ограничивающая эту область сверху, имеет уравнение .

Введем понятие трехкратного интеграла по области V от функции трех переменных , определенной и непрерывной в области V. Предположим, что область D - проекция области V на плоскость — ограничена линиями

Тогда трехкратный интеграл от функции , по области V

определяется так:

Заметим, что в результате интегрирования по и подстановки пределов в фигурных скобках получится функция от х и у. Далее, вычисляется двойной интеграл от этой функции по области D, как это было рассмотрено выше.

Приведем пример вычисления трехкратного интеграла по области V. Пример 1. Вычислить трехкратный интеграл от функции по области V, ограниченной плоскостями

Решение. Эта область правильная, она ограничена сверху и снизу плоскостями и проектируется на плоскость Оху в правильную плоскую область D, представляющую собой треугольник, ограниченный прямыми Поэтому трехкратный интеграл вычислится следующим образом:

Рис. 334.

Расставляя пределы в этом двукратном интеграле по области D, получим

Рассмотрим теперь некоторые свойства трехкратного интеграла. Свойство 1. Если область V разбить на две области плоскостью, параллельной какой-либо из плоскостей координат, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям .

Доказательство этого свойства проводится совершенно так же, как и доказательство соответствующего свойства для двукратных интегралов. Поэтому нет необходимости повторять его снова.

Следствие. При любом разбиении области V на конечное число областей плоскостями, параллельными координатным плоскостям, имеет место равенство

Свойство 2 (теорема об оценке трехкратного интеграла). Если и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции , в области V, то имеет место неравенство где V есть объем данной области, трехкратный интеграл от функции по области V.

Доказательство. Оценим сначала - внутренний интеграл

в трехкратном интеграле

Итак, внутренний интеграл не превосходит выражения

Поэтому в силу теоремы § 1 о двойных интегралах получим (обозначая через D проекцию области V на плоскость

Но последний двукратный интеграл равен двойному интегралу от функции следовательно, равен объему той области, которая Заключена между поверхностями т. е. объему области V. Поэтому

Аналогично доказывается, что Таким образом, свойство 2 доказано.

Свойство 3 (теорема о среднем). Трехкратный интеграл от непрерывной функции по области V равен произведению его объема значение функции в некоторой точке Р области V, т.

Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство аналогичного свойства для двукратного интеграла (см. § 2, свойство 3, формула (4)). Теперь мы можем доказать теорему о вычисленйи тройного интеграла.

Теорема. Тройной интеграл от функции по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области, т. е.

Доказательство. Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на правильных областей: Как и выше, обозначим через трехкратный интеграл от функции по области V, а через трехкратный интеграл от этой функции по области Тогда на основании следствия из свойства I можем написать равенство

Каждое из слагаемых, стоящих в правой части этого равенства, преобразуем по формуле (2):

где - некоторая точка области

В правой части этого равенства стоит интегральная сумма. По предположению функция непрерывна в области V и потому предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего диаметра существует и равняется тройному интегралу от функции по области V. Таким образом, переходя к пределу в равенстве (4) при , получим

или окончательно, меняя местами стоящие справа и слева выражения,

Теорема доказана.

Здесь уравнения поверхностей, ограничивающих правильную область V снизу и сверху. Линии ограничивают область D, являющуюся проекцией области V на плоскость Оху.

Замечание. Аналогично тому, как это было в случае двукратного интеграла, можно составить трехкратный интеграл с другим порядком интегрирования по переменным и другими пределами, если, конечно, это позволяет форма области V.

Вычисление объема тела с помощью трехкратного интеграла. Если подынтегральная функция

то тройной интеграл по области V выражает объем области V:

Пример 2. Вычислить объем эллипсоида

Рис. 335.

Решение. Эллипсоид (рис. 335) ограничен снизу поверхностью а сверху — поверхностью Проекцией этого эллипсоида на плоскость Оху (область D) является эллипс — Следовательно, сводя вычисление объема к вычислению трехкратного интеграла, получим

При вычислении внутреннего интеграла считается постоянным. Сделаем подстановку

Переменная у изменяется поэтому меняется от до . Подставляя в интеграл новые пределы, получим

Итак,

Если г то получаем объем шара: