§ 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения

Докажем далее следующую теорему.

Теорема. Если функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, определенную в § 27, то решение дифференциального уравнения,

при начальном условии

единственно, т. е. через точку проходит единственная интегральная кривая уравнения (1).

Доказательство. Допустим, что существует два решения уравнения (1), удовлетворяющие условию (2), т. е. две кривые, выходящие из точки . Следовательно, обе эта функции удовлетворяют уравнению (24) § 27:

Рассмотрим разность

Преобразуем подынтегральную разность по формуле Лагранжа с учетом неравенства (6) § 27:

Из этого равенства получаем

На основании (3) с учетом (5) можем написать неравенство

Рассмотрим такое значение чтобы . Для определенности будем считать, что для случая доказательство аналогично.

Пусть наибольшее значение на интервале принимается при и равно . Тогда неравенство (6) для точки принимает вид

или

При допущении существования двух различных решений пришли к противоречию. Следовательно, решение единственно.

Замечание 1. Можно показать, что решение будет единственным при меньших требованиях на функцию f(x, у). См., Например, книгу: Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. Наука, 1970.

Замечание 2. Если функция имеет неограниченную частную производную области, то могут существовать несколько решений, удовлетворяющих уравнению. (1) и начальным условиям (2).

Действительно, рассмотрим уравнение

о начальным, условием

Здесь при

В этом случае существуют два решения уравнения (7), удовлетворяющие начальному условию (8):

В том, что эти функции суть решения уравнения (7), убеждаемся непосредственной подстановкой их в уравнение. Через начало координат проходят две интегральные кривые (рис. 373).

Рис. 373