§ 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса

Снова будем искать решение уравнения

на отрезке удовлетворяющее начальному условию при Введем нужные для дальнейшего обозначения. Приближенные значения решения в точках будут Первые разности, или разности первого порядка:

Вторые разности, или разности второго порядка:

Разности вторых разностей называются разностями третьего порядка и т. д. Через обозначим приближенные значения производных, через приближенные значения вторых производных и т. д. Аналогично определяются первые разности производных

вторые разности производных

Напишем далее формулу Тейлора для решения уравнения в окрестности точки , гл. IV, § 6, формула (6)):

В этой формуле известно, а значения производных

находятся из уравнения (1) следующим образом. Подставляя в правую часть уравнения (1) начальные значения найдем

Дифференцируя члены уравнения (1) по получим

Подставляя в правую часть значения найдем

Дифференцируя еще раз равенство (3) по и подставляя значения найдем Продолжая так, можем найти значения производных любого порядка при Все члены, кроме остаточного члена в правой части формулы (2) известны. Таким образом, пренебрегая остаточным членом, мы можем получить приближенные значения решения при любом значении их точность будет зависеть от величины и числа членов в разложении.

В рассмотренном ниже методе по формуле (2) определяют только несколько первых значений у, когда мало. Мы определим значения при и при беря четыре члена разложения известно на основании начальных данных):

Таким образом, будем считать, что известны три значения функции . На основании этих значений, пользуясь уравнением (1), определяем

Зная можно определить . Результаты вычисления заносим в таблицу:

Допустим теперь, что нам известны значения решения На основании этих значений, пользуясь уравнением (I), мы можем вычислить значения производных а следовательно,

Определим значение по формуле Тейлора, полагая

Ограничимся в нашем случае четырьмя членами разложения:

В этой формуле неизвестными являются которые мы попытаемся определить через известные разности первого и второго порядков.

Предварительно представим по формуле Тейлора полагая :

и полагая :

Из равенства (6) находим

Вычитая из членов равенства (6) члены равенства (7), получим

Из (8) и (9) находим

или

Подставляя выражение в равенство (8), получим

Итак, найдены. Подставляя выражения (10) и (11) в разложение (5), получим

Это и есть так называемая формула Адамса с четырьмя членами, Формула (12) дает возможность, зная определить Таким образом, зная мы можем найти и далее

Замечание 1. Укажем без доказательства, что если существует единственное решение уравнения отрезке удовлетворяющее начальным условиям, то погрешность приближенных значений, определенных по формуле (12), по абсолютной величине не превосходит , где М — постоянная, зависящая от длины интервала и вида функции и не зависящая от величины

Замечание 2. Если мы хотим получить большую точность вычисления, то следует брать больше, чем в разложении (5), членов, и формула (12) соответствующим образом изменится. Так,

если вместо формулы (5) мы возьмем формулу, содержащую справа пять членов, т. е. дополним членом порядка h, то вместо формулы (12) аналогичным путем получим формулу

Здесь определяется через значения . Таким образом, чтобы начать вычисления по этой формуле, нужно знать четыре первых значения решения При вычислении этих значений по формулам типа (4) следует брать пять членов разложения.

Пример 1. Найти приближенные значения решения уравнения удовлетворяющего начальному условию при Значения решения определить при

Решение. Найдем сначала по формулам (4) и (4), Из уравнения и начальных данных получаем

Дифференцируя данное уравнение, получим

Следовательно!

Дифференцируем еще раз:

Следовательно,

Подставляя в равенство (4) значения получим

Аналогично при получим

Зная на основании уравнения находим

Полученные значения заносим в таблицу:

По формуле (12) находим

Далее находим значения Снова по формуле (12) находим

Точное выражение решения данного уравнения:

Следовательно, . Абсолютная погрешность: 0,0003; относительная погрешность: . (Абсолютная погрешность значения вычисленного по методу Эйлера: 0,06; относительная погрешность:

Пример 2. Найти приближенные значения решения уравнения

удовлетворяющего начальному условию при Значения решения определить при

Решение. Находим

По формулам (4) и (4) получаем

Из уравнения находим

На основании этих данных составляем первые строки таблицы, а затем значения и определяем по формуле (12).

Итак,

Отметим, что первые верные четыре знака в таковы: . (Это можно получить другими, более точными методами, с оценкой погрешности.)