§ 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена

Представление функции бесконечным рядом (Фурье, Тейлора и т. д.) имеет на практике тот смысл, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на члене, является приближенным выражением разлагаемой функции; это приближенное выражение можно довести до какой угодно степени точности путем выбора достаточно большого значения Однако характер приближенного представления может быть различным.

Рис. 387,

Так, например, сумма первых членов ряда Тейлора совпадает с рассматриваемой функцией в одной точке и в этой точке имеет производные до порядка, совпадающие с производными рассматриваемой функции. Многочлен Лагранжа степени (см. § 9 гл. VII, т. I) совпадает с рассматриваемой функцией в точках.

Посмотрим, какой характер имеет приближенное представление периодической функции f(x) тригонометрическими многочленами вида

где — коэффициенты Фурье, т. е. суммой первых членов ряда Фурье. Сделаем сначала несколько замечаний.

Допустим, что мы рассматриваем некоторую функцию на отрезке и хотим оценить погрешность при замене этой функции другой функцией . Можно за меру погрешности взять на отрезке , т. е. так называемое наибольшее уклонение функции от Но иногда естественнее за меру погрешности брать так называемое среднеквадратичное уклонение, которое определяется равенством

Поясним на рис. 387 различие между среднеквадратйчным уклонением и наибольшим уклонением.

Пусть сплошная линия изображает функцию пунктирные линии изображают приближения Наибольшее уклонение кривой меньше, чем кривой но среднеквадратичное уклонение первой кривой больше, чем второй, так как кривая значительно отличается от кривой только на узком участке и поэтому лучше характеризует кривую чем первая.

Вернемся теперь к нашей задаче.

Пусть дана периодическая с периодом функция Среди всех тригонометрических многочленов порядка

требуется найти путем выбора коэффициентов тот многочлен, для которого среднеквадратичное уклонение, определяемое равенством

имеет наименьшее значение.

Задача сводится к Нахождению минимума функции переменных .

Развернув квадрат, стоящий под знаком интеграла, и интегрируя почленно, получим

Заметим, что

- коэффициенты Фурье функции f(x).

Далее, на основании формул (I) и (II) § 1 имеем: при

при любых

и при

Таким образом, получаем

Прибавляя и вычитая сумму

будем иметь

Первые три слагаемых этой суммы не зависят от выбора коэффициентов Остальные слагаемые

неотрицательны. Их сумма достигает наименьшего значения (равного нулю), если положить

При таком выборе коэффициентов тригонометрический многочлен

будет меньше всего отличаться от функции том смысле, что среднеквадратичное уклонение будет наименьшим.

Таким образом, мы доказали теорему:

Среди всех тригонометрических многочленов порядка наименьшее среднеквадратичной уклонение от функции f(x) имеет тот многочлен, коэффициенты которого суть коэффициенты Фурье функции

Величина наименьшего среднеквадратичного уклонения равна

Так как то при любом имеем

Следовательно, ряд, стоящий справа, при сходится, и мы. можем написать

Это соотношение называется неравенством Бесселя.

Отметим без доказательства, что для всякой ограниченной и кусочно монотонной функции среднеквадратичное уклонение, получающееся, при замене данной функции частичной суммой ряда Фурье, стремится к нулю при при Но тогда из формулы (2) вытекает равенство

которое называется равенством Ляпунова—Парсеваля. Заметим, что равенство Ляпунова—Парсеваля доказано для более широкого класса функций, чем тот, который мы здесь рассматриваем.

Из доказанного следует, что для функции, удовлетворяющей равенству Ляпунова (в частности, для всякой ограниченной

кусочно монотонной функции), соответствующий ряд Фурье дает среднеквадратичное уклонение, равное нулю.

Замечание. Установим одно свойство коэффициентов Фурье, нужное для дальнейшего. Введем сначала определение.

Функция f(x) называется кусочно непрерывной на отрезке если она имеет конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке (или всюду непрерывна).

Докажем следующее утверждение.

Если функция f(х) кусочно непрерывна на отрезке , то ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю при , т. е.

Доказательство. Если функция кусочно непрерывна на отрезке , то и функция также является кусочно непрерывна на этом отрезке. Тогда существует и является конечным числом. В этом случае из неравенства Бесселя (3) следует, что ряд сходится. Но если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. в данном случае . Отсюда непосредственно получаются равенства (4). Итак, для кусочно непрерывной и ограниченной функции справедливы равенства

Если функция периодична с периодом , то последние равенства можно переписать следующим образом (для любого а):

Заметим, что эти равенства остаются в силе, если в интегралах взять какой угодно промежуток интегрирования т. е. интегралы стремятся к нулю при неограниченном возрастании , если ограниченная и кусочно непрерывная функция.

Действительно, считая для определенности рассмотрим вспомогательную функцию периодом определенную

следующим образом:

Тогда

Так как есть ограниченная и кусочно непрерывная функция, то интегралы, стоящие справа, стремятся к нулю, при Следовательно, стремятся к нулю, и интегралы, стоящие слева. Таким образом, утверждение доказано, т. е.

для любых чисел и любой кусочно непрерывной и ограниченной на функции