§ 5. Однородные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция f (х, у) называется однородной функцией измерения относительно переменных и у, если при любом X. справедливо тождество

Пример 1. Функция — однородная функция первого измерения, так как

Пример есть однородная функция второго измерения, так как

Пример есть однородная функция нулевого измерения, так как или

Определение 2. Уравнение первого порядка

называется однородным относительно х и у, если функция f(x, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Решение однородного уравнения. По условию . Положив в этом тождестве , получим

т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Уравнение (1) в этом случае примет вид

Сделаем подстановку

Тогда будем иметь

Подставляя это выражение производной в уравнение , получим

Это — уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, найдем

Подставляя после интегрирования вместо отношение получим интеграл уравнения .

Пример 4. Дано уравнение

Справа стоит однородная функция нулевого измерения; следовательно имеем однородное уравнение. Делаем замену тогда

Разделяя переменные, будем иметь

отсюда, интегрируя, находим

Подставляя получим общий интеграл исходного уравнения:

Получить как явную функцию от , записанную с помощью элементарных функций, в данном случае невозможно. Впрочем, здесь легко выразить через у:

Замечание. Уравнение вида

будет однородным в том и только в том случае, когда являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.

Пример 5. Уравнения

являются однородными.