§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра

Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра а:

(Такие интегралы мы рассматривали в § 10 гл. XI т. I.) Укажем без доказательства что если функция непрерывна по на отрезке и по а на отрезке , то функция

является непрерывной функцией на отрезке Следовательно, функцию можно интегрировать по а на отрезке

Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от функции по прямоугольнику, расположенному в плоскости Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграл:

Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра а, достаточно проинтегрировать) по параметру а подынтегральное выражение. Эта формула также бывает полезна при вычислении определенных интегралов.

Пример. Вычислить интеграл

Неопределенный интеграл от подынтегральной функции не берется в элементарных функциях. Для его вычисления рассмотрим другой интеграл, который можно легко вычислить:

Интегрируя это равенство в пределах от до получим

Меняя порядок интегрирования в первом интеграле, перепишем это равенство в следующем виде:

откуда, вычисляя внутренний интеграл, получаем