§ 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры

В § 8 гл. XII (т. l) указывалось, что координаты центра масс системы материальных точек с массами определяются по формулам

Определим теперь координаты центра масс плоской фигуры D. Разобьем эту фигуру на очень малые элементарные площадки . Если поверхностную плотность принять равной единице, то масса площадки будет равна ее площади. Если приближенно считать, что вся масса элементарной площадки сосредоточена в какой-либо ее точке , то можно рассматривать фигуру D как систему материальных точек. Тогда по формулам (1) координаты центра масс этой фигуры будут приближенно определяться равенствами

В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, и мы получим точные формулы для вычисления координат центра масс плоской фигуры:

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной

плотностью 1, остаются, очевидно, в силе и для фигуры, имеющей любую другую постоянную во всех точках плотность Если же поверхностная плотность переменна:

то соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Оу и Ох.

Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

Рис. 331.

Пример. Определить координаты центра масс четверти эллипса (рис. 331)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение. По формулам (2) получаем