§ 17. Примеры разложения функций в ряды

1. Разложение, функции вряд Маклорена.

В § 7 главы IV (т. 1) мы получили формулу

Так как было доказано, что то на основании сказанного в предыдущем параграфе получаем разложение в ряд Маклорена:

Так как остаточный член стремится к нулю при любом X, то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию при любом

На рис. 371 показаны графики функции и первых трех частичных сумм ряда (1).

Этим рядом пользуются для вычисления значений при различных значениях

Вычислим, например, с точностью до . Так как 10° или, в радианах, 0,174533, то

Ограничиваясь первыми двумя членами, получим следующее приближенное равенство:

при этом возникает погрешность , которая по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов, т. е.

Если каждое слагаемое в выражении для будем вычислять с шестью знаками, то получим:

За первые четыре знака можно ручаться.

Рис. 371.

2. Разложение функции ряд Маклорена. На основании § 7 главы IV (т. I) имеем

так как было доказано, что для любого Следовательно, для всех значений ряд сходится и представляет функцию

Если в разложении (2) заменить на то получаем

3. Разложение функции в ряд Маклорена.

На основании § 7 главы IV (т. I) имеем

при всех значениях ряд сходится и представляет функцию Разложение функций

в ряд Маклорена.

Разложение этих функций легко получается путем вычитания и сложения рядов (2) и (3) и деления на два.

Итак,